[obm-l] RES: [obm-l] função

["Edilon Ribeiro da Silva" <edilon.silva@xxxxxxxxxxx>]

Caro Carlos,
 
    Questão 01
 
    item a)
 
    Fazendo x = 1 e y = 1 temos:
 
    2*f(1)*f(1) = [f(1+1) + f(1-1)]
     2*[f(1)]^2 = f(2) + f(0)
 
    Como f(1) = 0, então:
 
    f(2) + f(0) = 0     (I)
 
    Façamos agora x = 0 e y =0. 
 
    2*f(0)*f(0) = [f(0+0) + f(0-0)]
     2*[f(0)^2] = 2*f(0)
  f(0)^2 - f(0) = 0
f(0)*[f(0) - 1] = 0, isso implica f(0) = 0 ou f(0) - 1 = 0.
 
    Não podemos usar f(0) = 0, pois, em tendo em vista (I) e a propriedade da função f, a função tornar-se-á identicamente nula, o que é contra o enunciado. Dessa forma temos:
 
    f(0) - 1 = 0. Logo,
        f(0) = 1.
 
    Como f(0) = 1, de (I) conclui-se que f(2) = -1.    
 
    Façamos agora, x = 2 e y = 1. Assim:
 
    2*f(2)*f(1) = [f(2+1) + f(2-1)]
    2*f(2)*f(1) = f(3) + f(1)
    
    Mas f(1) = 0, então f(3) = 0
 
    Portanto,  f(0) = 1, f(2) = -1 e f(3) = 0.
 
    Item b)
 
        Para mostrarmos que f(x+4) = f(x), basta mostrarmos que f(t+4) = f(t) por meio de mudanças de variáveis.
 
    Sejam x = t+3 e y = 1. Dessa forma temos:
 
    2*f(t+3)*f(1) = [f(t+3+1) + f(t+3-1)]
    2*f(t+3)*f(1) = f(t+4) + f(t+2)
 
    Como f(1) = 0, temos:
 
    f(t+4) + f(t+2) = 0      (II)
 
    Agora basta fazer x = t+1 e y = 1.
 
    2*f(t+1)*f(1) = [f(t+1+1) + f(t+1-1)]
    2*f(t+1)*f(1) = f(t+2) + f(t)
    
    Como f(1) = 0, temos:
 
    f(t+2) + f(t) = 0       (III)
 
    Subtraindo (III) de (II) chega-se a:
 
    f(t+4) - f(t) = 0, ou seja, f(t+4) = f(t).
 
     Como t é qualquer real, então f(x+4) = f(x).
                                          (c.q.m)
  
    
Edilon Ribeiro.
    
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	-----Mensagem original----- 
	De: cabs.bentes [mailto:cabs.bentes@bol.com.br] 
	Enviada: dom 25/8/2002 14:11 
	Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
	Cc: 
	Assunto: [obm-l] função
	
	

	Oi pessoal;
	
	Será que alguem poderia me ajudar com os seguintes
	problemas :
	
	
	1) Seja f:R->R uma função não identicamente nula, tal
	que f(1)=0 e 2f(x)f(y)=[f(x+y)+f(x-y)] ; para x e y
	pertencentes a R.
	 a) quais os valores de f(0); f(2); f(3)
	 b) mostre que f(x+4)=f(x) ; para qualquer x E R.
	
	2) Seja f:R->R uma função tal que f(x)=x^2-3x+4. Quantas
	soluções reais tem a equação f(f(f...f(x)...))=2, onde
	f  é aplicada 2002 vezes ?
	
	
	Obrigado ...
	
	Carlos.
	
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