Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Achar raizes "na mão"

["Fernando Henrique Ferraz P. da Rosa" <mentus@xxxxxx>]

Você pode utilizar o algoritmo de Newton para aproximação de raízes de funções..
  Seja a funcao f(x) = x^2 - a. A raiz positiva dessa funcao é a raiz quadrada que você está procurando e a é o numero de qual 
voce quer tirar a raiz quadrada (f(x) = x^2 - 8 para calcular a raiz quadrada de 8 por exemplo).

   Primeiro voce escolhe uma aproximacao x0 arbitrária (pode ser a/2, a, etc. de preferencia um valor positivo). Dai com algumas 
iteracoes de acordo com a funcao abaixo voce acha x1, x2, x3, x_i.... quanto maior i melhor a aproximacao. Em particular para a 
funcao f(x) = x^2 - a, quanto maior i melhor sua aproximacao.

Usando o metodo de newton para a funcao f(x) acima: 
   g(x_k+1) = x_k - f(x_k)/f'(x_k)
   g(x_k+1) = x_k - (x_k^2 - a)/(2*x_k)
   g(x_k+1) = (2x_k^2 - x_k^2 + a)2x_k
   g(x_k+1) = (x_k^2 +a)2x_k
   g(x_k+1) = 1/2 ((x_k^2 +a)/x_k)
   g(x_k+1) = 1/2 (x_k + a/x_k)

Voce pode extender o metodo para a raiz enésima, fazendo f(x) = x^n - a, a demonstracao é análoga.
Um exemplo númerico... vamos calcular a raiz quadrada de 1774
Isso equivale a achar a raiz da funcao f(x) = x^2 - 1774...  Escolhemos x0 = 20. (poderia ser 30, 40, 0, voce só precisaria de mais 
ou menos iteracoes).
    x1 = 1/2 (x0 + 1774/x0) => x1 = 1/2 (20 + 1774/20) => x1 = 54.35
    x2 = 1/2 (x1 + 1774/x1) => x2 = 1/2(54.35 + 1774/54.35) => x2 =  43.49...
    x3 = (idem acima) => x3 = 42,14...
    x4 = (ibidem) => x4 = 42,12 (arredondando)
Em geral em 4 iteracoes voce já consegue uma boa aproximacao. 42.12^2 = 1774.0944.... Conforme voce quiser uma 
aproximacao melhor voce pode usar mais casas decimais entre as iteracoes ou aumentar o numero de iteracoes.





"Jeremias de Paula Eduardo" <jeremias@brturbo.com> wrote on 31/08/02 16:07:11:
>
>Laurito,
>Obrigado por ter respondido minha primeira pergunta, e aí vai minha primeira
>resposta.
>
>Não sei bem. Eu tava estudando algo sobre números irracionais e percebi que
>não podia calcular raízes, lembrei de um tio meu que ficava criticando o
>ensino de hoje, dezendo que os alunos não sabem mais fazer as coisas. Eu
>retruquei e ele perguntou se eu sabia efetuar calculo de raízes e eu disse
>que não.
>
>Sei lá, é algo que eu quero saber, quem sabe não consigo pegar alguma
>demonstração de cálculo e aprimorá-lo ao meu gosto e até fazer de cabeça.
>Seria interessante calcular raízes de cabeça... É isso, nada demais.

"Wir müssen wissen. Wir würden wissen."
       David Hilbert

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