[obm-l] Re: [obm-l] 3 problemas olímpicos

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Frederico e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

ja que o Vilaard fez o terceiro, vou dar uma ideia pros dois primeiro. Voce 
completa os detalhes :

1) Problema bonito ! Das duas primeiras equacoes tiramos :
2z(2y+1)=-x^2
x(2y+1)=-2z^2
Isto mostra que "x" e "z" devem ter o mesmo sinal ...

Logo ...

Da terceira equacao, tiramos :
y^2+y+1=-2xz.
como y^2+y+1 e sempre positivo, isto implica -2xz > 0 segue que xz < 0 e 
portanto "x" e "z" devem ter sinais diferentes ...

Logo ...

2)Esse e trivial, tipo uma imlicacao depois da outra. Suponha (x,y,z) uma 
solucao : 7^x + 1=3^y + 5^z => 7^x - 1=3^y + 5^z - 2 => (7^x - 1) - 3^y = 
5^z - 2. Como 7==1(mod 3) entao 7^x==1(mod 3) => 7^x - 1 e multiplo de 3. 
Por outro lado, 3^y e multiplo de 3, logo 5^z - 2 e multiplo de 3 => 
5^z==2(mod 3) => 5^(z+2)=50(mod 3) => 5^(z+2)==2(mod3) => z e impar ... Seja 
z=2p+1

Logo ...

Um abraco
Paulo Santa Rita
7,1308,070902


>From: "fredericogomes" <fredericogomes@bol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] 3 problemas olímpicos
>Date: Fri,  6 Sep 2002 02:03:52 -0300
>
>1-(Ucrânia 1992)- Demonstrar que não existem soluções
>reais do sistema:
>       { x^2 + 4yz + 2z    =0
>       { x   + 2xy + 2z^2  =0
>       { 2xz + y^2 + y + 1 =0
>
>
>2-(China 1993) Achar todas as ternas (x,y,z) de inteiros
>não negativos tais que: 7^x + 1 = 3^y + 5^z.
>
>obs: é óbvio que (0,0,0) e (1,1,1) são soluções e que
>não temos mais nenhuma solução que envolva inteiro(s)
>nulo(s), neste caso podemos admitir x,y,z >=1
>
>3-(Iran 1993) Encontrar todos os primos ímpares p tais
>que  [ 2^(p-1) - 1 ] / p é  um quadrado perfeito
>
>Ficarei imensamente grato se tiver pelo menos um destes
>três resolvidos.
>
>               []´s Frederico.
>
>
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>MATEMÁTICA?
>
>ABRAÇOS,
>
>IDA




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