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Re: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...
Olá, Paulo
Quanto ao livro de lógica, ainda não tive tempo de estudá-lo, mas tenho
participado de alguns seminários sobre forcing usando o livro de Kunen.
Parece que agora ficou mais claro para mim o que voce pensou. A respeito
disso proponho a seguinte pergunta: se alguém com uma brilhante aptidão
matemática, mas que nunca tinha ouvido falar de números reais nem de
geometria, aprende os axiomas do corpo ordenado completo, sem nenhuma
interpretação geométrica, que visão ele teria dos números reais? Será que,
com o tempo, ele ia perceber por si só essa interpretação geométrica? Será
que ia obter uma outra visualização?
Será que, nessa visualização, iria enxergar coisas que nós não enxergamos? E
por aí vai...
Mas o fato de atribuirmos a certas estruturas matemáticas novas
visualizações que nos permitem enxergar coisas que não enxergávamos, e que
ajude a associarmos coisas aparentemente totalmente distintas, já ocorre com
frequência na matemática e é bem interessante. Por exemplo, o fato de
pensarmos em funções como elementos de espaço vetorial e utilizarmos produto
interno dado pela integral (como fazemos na Análise Funcional), nos ajudou a
descobrirmos um monte de resultados importantíssimos em equações
diferenciais. No fundo, será que isso não é o que voce falou sobre achar uma
nova visualização de uma teoria? Quem imaginava, antes de se criar a Álgebra
Linear abstrata, que as funções podiam ser vistas como vetores, inclusive
com a noção de ortogonalidade, e que isso fosse tão útil? O que fizemos não
foi usar a geometria para visualizarmos algo que até então ninguém pensava
haver qualquer relação com geometria? Acho isso um dos fenômenos mais
maravilhosos da matemática. Voce cria definições abstratas que generalizam
conceitos mais concretos e, apesar das dificuldades iniciais geradas pelo
excesso de abstração, isso acaba facilitando nosso raciocínio, a posteriori,
fazendo-nos associarmos fatos aparentemente independentes e usarmos
resultados obtidos para um fim, em outro fim totalmente diferente, além de
que, muitas vezes, é mais fácil enxergarmos coisas particulares quando
estamos no geral (algo parecido com o que Polya chama de "paradoxo da
invenção"). A topologia generaliza conceito de vizinhanças que herdamos da
reta real, para que seja aplicada para diversos fins. Mas depois que a
aprendemos, fica mais fácil descobrirmos coisas relativas à própria reta
real e "limpar" o nosso raciocínio de informações irrelevantes para um
determinado problema (por exemplo, ao invés de considerarmos aquela
definição por epsilons e deltas de continuidade de função, usarmos que a
imagem inversa de abertos é aberta pode ser mais útil, claro e "limpo").
Com relação a essas coisas tenho pensado bastante, e creio que está
relacionado com seu "estranho sentimento". De qualquer forma, essa é uma das
coisas que mais me admira na Matemática.
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...
>Date: Wed, 11 Sep 2002 15:24:22 +0000
>
>Ola ROGERIO FAJARDO e demais
>colegas desta lista ... OBM-L,
>
>E entao Fajardo, tudo legal ?
>Conseguiu o Livro de Logica-Matematica ?
>
>Eu sei que foram fatos geometricos e outros fenomenos cotidianos (divida ->
>numero negativo, divisao de um objeto -> fracao, etc etc ) que nos levaram
>a descoberta das diversas classes de numeros, "construidos" posteriormente
>e hoje apresentados com o auxilio da abstracao matematica ...
>
>Colocar estes numeros em uma reta, porem, e uma construcao humana gratuita
>... nao ha nenhum razao forte para tanto e os axiomas de um corpo ordenado
>completo nao induzem, a priori, a nenhuma topologia particular ... O que
>estes axiomas podem falar sobre disposicao ou configuracao ? Isso : Nada !
>Nos poderiamos pensar sobre eles com igual correcao se os visualizassemos
>sobre um ramo de parabola, por exemplo. ME PARECE, salvo melhor juizo, que
>a unica exigencia que podemos fazer sobre uma possivel representacao e a de
>continuidade ... E a continuidade, conforme todos nos sabemos, nao e uma
>propriedade metrica.
>
>Bom, sendo assim, respeitados os axiomas de um corpo ordenado completo, nos
>podemos pensar nos numeros reais como estando disposto de outra forma,
>desde que esta estratificacao preserve a continuidade ... A questao e : e
>vantajoso fazer isso ? e util ? Com esta imagem nos conseguiremos resolver
>ou esclarecer algum fato que ainda nao foi resolvido ou esclarecido ? So
>assim um mudanca ou inovacao e justificavel ...
>
>Nao sei se consegui ser claro, mas percebi que voce pensou seriamente sobre
>a minha mensagem e nao supos que eu seja tao simplorio que nao perceba
>sobre a gravidade e implicacoes do que estou falando ...
>
>Um abraco
>Paulo Santa Rita
>4,1223,110902
>
>
>
>
>>From: "Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...
>>Date: Wed, 11 Sep 2002 00:32:33 +0000
>>
>>Não compreendi bem o que voce quer dizer, mas me interessei por seu
>>comentário. Pelo que entendi, voce quer saber se existe outra forma de
>>visualizar, intuitivamente, os números, de forma a enxergar propriedades
>>que são difíceis de enxergar com a visualização com as quais estamos
>>acostumados. É isso ou nada a ver?
>>
>>O que eu percebo é que não é bem a geometria que serve para nos dar uma
>>intuição dos números reais, mas os números reais surgiram para descrever a
>>geometria de forma precisa. Não sei se isso tem algo a ver com seu e-mail.
>>Detalhe-me mais o seu pensamento.
>>
>>
>>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...
>>>Date: Mon, 09 Sep 2002 21:19:23 +0000
>>>
>>>Ola Pessoal e demais
>>>colegas desta lista ... OBM-L,
>>>
>>>Eu tenho pensado continua e longamente em um conjunto de questoes
>>>relacionadas que me levam, invariavelmente, a uma mesma direcao que nao
>>>estou conseguindo acreditar ... ate parece que depois de tanto refletir
>>>cheguei a alguma constatacao insana ou simploria demais ... Se algum
>>>colega puder falar algo esclarecedor e/ou interessante eu ficarei muito
>>>grato !
>>>
>>>Desde a infancia somos instados a pensar que os numeros reais estao
>>>dispostos ao longo de uma linha reta. Nos dizemos : 3 < 5 ! E
>>>imediatamente visualizamos o 3 a esquerda do 5, ambos em uma linha reta !
>>>Por que nos pensamos assim ?
>>>
>>>E verdade que em cursos de analise os livros definem R como um corpo
>>>ordenado completo e derivam as propriedades dos numeros reais dos axiomas
>>>que definem esta estrutura, sem recorrer a qualquer propriedade
>>>geometrica derivada de uma eventual visualizacao dos numeros sobre uma
>>>reta ...
>>>
>>>Mas se, por um lado, os axiomas de um corpo ordenado completo nao
>>>implicam ou requerem explicitamente uma estrutura geometrica conhecida, e
>>>inegavel que a visualizacao "informal" que fazemos facilita muitos
>>>raciocinio ... SERIA REALMENTE IMPOSSIVEL ASSOCIAR A UM CORPO ORDENADO
>>>COMPLETO UMA GEOMETRIA, ATRAVES DE AXIOMAS OU OUTROS RECURSOS, DE FORMA
>>>QUE PUDESSEMOS TER OUTRAS VISUALIZACOES, MESMO QUE ESTRANHAS, POREM,
>>>CONMSISTENTES ? NAO PODERIAM ALGUMAS PROPRIEDADES NUMERICAS DEPENDEREM
>>>INEXORAVELMENTE DE UMA TAL GEOMETRIA ?
>>>
>>>E bem provavel que eu esteja errado, mas nao consigo perceber o meu erro
>>>... EU ACHO QUE CERTOS MAPEAMENTOS NUMERICOS REQUEREM OU IMPLICAM QUE OS
>>>NUMEROS NATURAIS TEM UMA GEOMETRIA OU ESTRUTURA INTRINSECA, SEM A QUAL
>>>NAO DA PRA COMPREENDER CERTAS COISAS ... E NECESSARIO OU POSTULAR UMA
>>>DISPOSICAO ESTRATIGRAFICA OU SUPOR QUE CERTOS MAPEAMENTOS INDUZEM UMA TAL
>>>ESTRATIFICACAO ...
>>>
>>>Bom, se alguem puder falar alguma coisa interessante sobre este tema eu
>>>fico muito grato, pois este e realmente um SENTIMENTO ESTRANHO que me tem
>>>ocorrido com alguma frequencia. Pode ser uma burrice momentanea que esta
>>>me levando a estas perguntas aparentemente idiotas e sem sentido, mas eu
>>>nao iria ocupar o tempo de voces, meus amigos, se nao tivesse razoes
>>>seria pra fazer isso ...
>>>
>>>Um abraco a Todos
>>>Paulo Santa Rita
>>>2,1818,090902
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