Essa foi a questao mais legal de todo o primeiro dia.Tentei de tudo,so fui ver no final...
Vamos ser humildes,devemos ver casos pequenos.
*|A|=1,temos o conjunto {2}(existem infinitos desses caras,oras!).EEEE!!!!
*|A|=2,da pra sair na surra facil facil:{2,3}.
|A|=3,agora a casa cai...nao da pra ficar eternamente nessa caça.Ai pensei no problema oposto:ao inves de nunca dar potencias perfeitas nas somas,um problema da Olimpiada Balcanica pedia o contrario(bem mais trampo!!!).Me lembrei das tecnicas para resolve-lo(TEOLEMA CHINES DOS LESTOS),QUE NAO AJUDAVA EM NADA(AS CONGRUENCIAS FALHAVAM A TODO SEGUNDO!!!)e o truque do produto(se voce tem o conjunto A prontinho,demonstre a existencia de uma constante k tal que o conjunto A*k +k sirva no nosso problema(multiplicar os elementos de A por k, e adicionar k))E claro que eu tive que adaptar uma boa parte do problema,mas nada de tirar o sono...
Vamos supor k primo para facilitar a nossa vida.Como a gente verifica se um conjunto da certo?Oras,verifique todas as somas possiveis para o caso.EXEMPLO:
{x,2x,3x} da certo se e so se x,2x,3x,3x=x+2x,4x=x+3x=x*22,5x=2x+3x,6x=x+2x+3x=2*3*x derem certo.Assim sendo,escolha x como sendo o menor primo que ainda nao apareceu em nenhuma das fatoraçoes das somas,no nosso caso o 7.
Como 7 e o menor cara que ainda nao apareceu,ele nao estara elevado a nada(so ao 1,mas isso nao conta...)Entao,fim!Produzimos o conjunto{7,14,21}.
Podemos continuar esse algoritmo para ajudar na busca de novos conjuntos.Basta ter uma paciencia K9 que o treco sai.E fim!EEEEEEEE!!!!!!!!!!!!!!!!
"Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:
ah, essa é legal...pegue p e q primos absurdamente gigantes!S = {2.p^q, 3p^q, ...., 2003.p^q} é um conjunto com 2002 inteiros positivos sendo que qualquer soma entre eles dá um número k.p^qonde 2 <=k <= 2+3+...+2003como q é primo, a única maneira de k.p^q ser uma potência perfeita é se for da forma a^q (a^(nq) tb serve, mas dá no mesmo pois é (a^n)^q).como p é primo e a fatoração em primos é única tevemos ter k = d^q para algum d > 0, mas b^q (b > 1) é muito maior que k, e por tanto k.p^q não é potência perfeita para nenhum k dentro dos limites acima.na verdade esse exemplo pode ser extendido para qualquer conjunto finito de inteiros, basta trocar o 2002 por N...Demonstre a existencia de 2002 inteiros positivos tais que nao seja possivel escolher alguns deles(pelo menos 1),soma-los e obter uma potencia perfeita(um numero da forma ab,com a,b maiores que 1.
Eu fiz por induçao.Depois digo,quero ver quem consegue pensar....
Yahoo! GeoCities
Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.