Realmente é um problema interessante e aqui vai umas das soluções.
Uma solução trivial para (-a)k = a-k , é a=0 ,claro, para k ≠ 0.
Mas, vamos estudar um pouco a equação.
Para a≠0;
(-a)k = a-k_ (-1)k.ak = a-k_ a-2k = (-1)k, mas i2= – 1, então, a-2k = i2k (*)
Antes de continuar vamos relembrar as potências de i.
i = ( - 1)1/2; i2 = -1; i3 = -i; i4 = 1, a partir daí começa a repetir , logo temos que,
i, se 2k=1(mod4) I -1, se 2k=2(mod4) II -i, se 2k=3 (mod4) III 1, se 2k=0(mod4) IV
i2k =
- Se ocorrer I então de (*) tiramos que a-2k = i _ (a-1)2k = i. (1)
- Se ocorrer II então de (*) tiramos que a-2k = -1 _ (a-1)2k = -1. (2)
- Se ocorrer III então de (*) tiramos que a-2k = -i _ (a-1)2k = -i. (3)
- Se ocorrer IV então de (*) tiramos que a-2k = 1 _ (a-1)2k = 1. (4)
Observe que (1), (2), (3) e (4) estão satisfazendo a própria potenciação de i. Logo uma solução para a equação é
a-1 = i _ a = -i
Conferindo: a=-i; [-(-i)]k = (-1/i)k _ ( i )k = ( i )k é solução.
A outra solução é justamente o conjugado de a ou seja a = i , pois,
( - i )k = ( i )-k _ (-i )k =(1/i)k _ (-i )k = (-i )k é solução
Soluções {0, -i ,i }.
Agora vem uma dúvida. E se fixássemos o k = i. A equação teria solução, ou seja para quais valores de a∈ C teríamos (-a)i = ai , ?