Ola Villard!!!!!!Voce tem a demonstraçao por Green?Poe ela aqui pra todo mundo ver!!!!!Falando nisso,foi bom voce ter me lembrado deste Teorema de Liouville.Vou pegar a demonstraçao agora(esta esta no livro Variaveis Complexas,de Murray Ralph Spiegel,traduzido por Jose Raimundo Coelho,Coleçao Schaum,Ed.McGraw-Hill):
TEOREMA DE LIOUVILLE:se para qualquer ponto z complexo,sabe-se que a funçao f(z) e analitica e limitada(ou seja,existe M real tal que |f(z)|<M),entao f(z) deve ser constante.
Suponha que o polinomio de grau n>0 nao tenha raizes.Entao f(z)=1/Polinomio seria analitica,e limitada(f tende a 0 quando |z| cresce).Logo e constante,por Liouville.Mas desde quando polinomio e constante?
Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br> wrote:
A demonstração mais simples que tem é usando o teorema de Liouville (acho q é assim q se escreve)... no entanto conheço uma que usa o teorema de Green tb... é mais legal, é claro :)Abraços,Villard-----Mensagem original-----
De: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@yahoo.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 21 de Novembro de 2002 14:34
Assunto: [obm-l] Sobre o Teorema Fundamental da Algebra(ajuda)Nao me lembro mais quem me perguntou sobre isso,mas acho que ja esta na hora de responder.E sobre a existencia de soluçoes complexas de polinomios em C[z]
Para demonstrar o TFA,vou enunciar esses dois teoremas,que podem ser demonstrados com a ajuda das formulas integrais de Cauchy.Depois eu falo disso em outros e-mails.
TEOREMA DE ROUCHE:se em uma curva fechada C e sobre ela as funçoes f(z) e g(z)sao analiticas,e |g(z)|<|f(z)| em C,temos que as funçoes g(z) e f(z)+g(z) tem o mesmo numero de zeros em C(contando multiplicidades).
Agora considere as funçoes f(z)=polinomio de grau n-1,g(z)=z^n,e considere a superficie C como sendo um circulo centrado na origem de raio R suficientemente grande(maior que 1),de modo que |f(z)|/|g(z)|>1 em C.Para encontrar esse raio R,use o fato de que em C nenhum complexo tem comprimento maior que o raio.
Depois de demonstrar isso,basta ver que g(z) tem n zeros em C
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
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