[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios nulos

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Eu mandei uma pergunta sobre um tópico relacionado a dias atrás. Na
esperança de que alguém me responda, vou responder a sua dúvida.

Você cometeu um pequeno engano, K é o corpo e K[x] é o anel de polinômios
que, em geral, não é um corpo. Basta ver que P(x)=x não é invertível. Se o
corpo K é finito é fácil de mostrar que existe tal polinômio. Sejam k1, k2,
...., kn os elementos de K então o polinômio P(x)=(x-k1)(x-k2)...(x-kn) não
é identicamente nulo (tem grau n) e P(x)=0 para todo x em K. É um resultado
conhecido que se k é raiz de P(x) então P(x)=(x-k)Q(x) com Q(x) em K[x],
segue daí que um polinômio tem no máximo n raizes, onde n é o grau de P.
Portanto se K é infinito P(x)=0 para todo x em K implica P==0.

Abraço,
Eduardo.

From: Wagner
>
>Alo pessoal !
>
>    Queria saber se é possível que um polinômio com os coeficientes em um
corpo K[x] >seja identicamente nulo mesmo que seus coeficientes não sejam
todos nulos?
>
>André T.

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