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Sugestão para o Problema 1:
Calcule a área do trapézio BCEF de duas maneiras
distintas e iguale as expressões obtidas.
PRIMEIRA: use o fato de que Triângulo AFE ~
Triângulo ABC com razão de semelhança = 1/2.
Resultado: A(BCEF) = A(ABC) -
A(AFE) = S - S/4 = 3*S/4
SEGUNDA: use o fato de que A(BCEF) = A(BGC) +
A(CGE) + A(EGF) + A(FGB).
Propriedade das medianas => BF = c/2, EC = b/2,
BG = 2*GE = 2*x e CG = 2*GF = 2*y
Use a lei dos cossenos para expressar cos(BGC) em
função de a, b, c, x e y.
No Triângulo BGC: AB^2 = BG^2 + GC^2 -
2*BG*GC*cos(BGC) ==> a^2 = 4*x^2 + 4*y^2 -
8*x*y*cos(BGC)
Faça o mesmo para os triângulos CGE e BGF (a fim de
incluir b e c)
Use a fórmula da área do triângulo em função de
dois lados e do seno do ângulo compreendido:
A(BGC) = 1/2*BG*CG*sen(BGC) =
1/2*(2*x)*(2*y)*sen(BGC) = 2*x*y*sen(BGC)
Faça o mesmo para os outros três
triângulos.
Lembre-se que sen(180 - x) = sen(x) e que cos(180 -
x) = - cos(x).
Um abraço,
Claudio.
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