Re: [obm-l] primos...

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jul 30, 2003 at 02:53:21AM -0400, DEOLIVEIRASOU@aol.com wrote:
> Prove que existem infinitos primos congruos a 3 módulo 4......
>     Um abraço,
>               Crom

Sejam p1, p2, ..., pn alguns primos congruos a 3 módulo 4.
Tome N = 4*p1*p2*...*pn - 1; N é congruo a 3 módulo 4 logo
admite pelo menos um fator primo q congruo a 3 módulo 4.
Por outro lado nenhum dos pi pode ser fator de N assim q
é diferente de p1, p2, ..., pn. Isto nos dá um algoritmo
(muito ineficiente) para obter uma lista infinita de primos
distintos congruos a 3 módulo 4.

Este é um caso particular fácil do teorema de Dirichlet:
se a e b são primos entre si então existem infinitos
primos da forma ak + b. Outro caso particular bem fácil
é (a,b) = (6,5). Casos um pouco menos fáceis mas ainda
elementares são (4,1) e (6,1); o problema 6 da IMO tem
bastante a ver com o caso (p,1), p primo. Existe uma
demonstração do caso b = 1, a qualquer, que usa polinômios
ciclotômicos e ainda é de certa forma elementar. O caso
geral usa teoria analítica dos números.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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