Re: [obm-l] V ou F Analítico.

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.08.03 15:04, Frederico Reis Marques de Brito at fredericor@hotmail.com
wrote:

> Bom pessoal, é o seguinte.
> 
> Seja  a_n , n e IN , uma sequência de  reais  e suponha que   a_n -> a .
> Verdadeiro ou Falso:
> 
> 
> (a_1 +  a_2  +  ... + a_n ) / n     ->  a    .
> 
> Infelizmente não sei como indicar um somatório ...
> 
> Abraços,
> 
> Frederico.
> 
Oi, Frederico:

A afirmativa eh verdadeira. A notacao mais usada aqui na lista aplicada a
este somatorio seria:

[SOMA(1<=k<=n) a_k]/n

*****

Seja eps > 0.

Defina, para todo n em N: b_n = a_n - a.

Assim, temos que b_n --> 0, ou seja:
existe n_0 em N tal que n > n_0 ==> |b_n| < eps/2

Temos que provar que [SOMA(1<=k<=n) b_k]/n --> 0.


Como n_0 eh fixo, SOMA(1<=k<=n_0) b_k = A = constante ==>
existe n_1 em N tal que n > n_1 ==>
[SOMA(1<=k<=n_0) b_k]/n = A/n <= |A|/n < eps/2

Alem disso, teremos:
SOMA(n_0+1<=k<=n) b_k <= SOMA(n_0+1<=k<=n) |b_k| < (n - n_0)*eps/2 ==>
[SOMA(n_0+1<=k<=n) b_k]/n < (n - n_0)*eps/(2n) < eps/2

Ou seja, para n > max(n_0,n_1), teremos:
[SOMA(1<=k<=n) b_k]/n = [SOMA(1<=k<=n_0) b_k]/n + [SOMA(n_0+1<=k<=n) b_k]/n
< eps/2 + eps/2 = eps ==>
[SOMA(1<=k<=n) b_k]/n --> 0.


Um abraco,
Claudio.

 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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