Re: [obm-l] Valores de aderencia de cos(n)

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur:

De fato, a continuidade da função cosseno é essencial (pelo menos na
demonstração que eu obtive).

Acho que dá pra provar o seguinte:
Seja X contido em R tal que X contém todos os inteiros positivos.
Seja f: R -> R uma função contínua, par (f(-x) = f(x)) e periódica com
período irracional.
Então, a sequência (f(n)) tem subsequências que convergem para qualquer
ponto de f(R).

Seja p = período de f. Como p é irracional, A = {r + s*p; r,s: inteiros} é
denso em R e tal que, para cada inteiro positivo n, existem inteiros  r(n)
e  s(n)  tais que:
0 < | r(n) + s(n)*p | < 1/n.

Tomemos b em f(R).
Seja a em R tal que f(a) = b.
Para cada n, tomamos um ponto z(n) do conjunto:
A inter ( a -1/n , a + 1/n )
(o qual é sempre não-vazio já que A é denso em R).
Obtemos assim uma sequencia z(n) de pontos de A que converge para a.

Seja z(n) = r(n) + s(n)*p, onde r(n) e s(n) são inteiros.
Temos que f(z(n)) = f(r(n) + s(n)*p) = f(r(n)) = f(|r(n)|).

Como z(n) -> a e f é contínua, temos que f(z(n)) = f(|r(n)|) -> f(a) = b.

Agora, basta tomar uma subsequência não-decrescente |r(n_i)| da sequência
|r(n)|.
|r(n_i)| também será uma subsequencia não-decrescente da sequência y(n) = n
==>
f(|r(n_i)|) será uma subsequência de (f(n)) que converge para b.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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