Caro Pedro,
Para facilitar, dividirei a resolução da
questão 1 em etapas:
A) 1 não é raiz de z^4 + z^3 + z^2 + z
+ 1 = 0, pois 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 é diferente de zero.
B) As raízes de z^4 + z^3 + z^2 + z +
1 = 0 são também raízes de z^5 - 1 = 0, pois z^5 - 1 = (z -
1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1).
C) Como z^5 - 1 = 0 <=> z^5 = 1
= [cos 0 + i * sen 0], tem-se que z = [cos (2*k*pi / 5) + i
* sen (2*k*pi/5)], para k = 0, 1, 2, 3 e 4. Desta forma, |z|
= 1.
D) Os valores de z são, portanto,
Z_1 = cos 0 + i * sen 0 = 1 (não
serve)
Z_2 = [cos (2*pi/5) + i*sen(2*pi/5)] não
pertence aos reais
Z_3 = [cos (4*pi/5) + i*sen(4*pi/5)] não
pertence aos reais
Z_4 = [cos (6*pi/5) + i*sen(6*pi/5)] não
pertence aos reais
Z_5 = [cos (8*pi/5) + i*sen(8*pi/5)] não
pertence aos reais
E) Se r é uma raiz, então | r | = | z | = 1
e
Sum[k=1...n] |r/3|^k <
Sum[k=1...oo] |r/3|^k = Sum[k=1...oo] (|r|/3)^k = Sum[k=1...oo] (1/3)^k = 1/2
Assim sendo, (I) e (II) são falsas e (III)
é verdadeira.
Resposta: D
Questão 2:
x^6 - (a+b+c)x^5 + 6x^4 - 3cx^2 + 6x - 1 =
0 é uma equação recíproca de segunda espécie, o que implica dizer que -1 e
1 são raízes, (a+b+c) > 0 e c > 0.
x = 1 => 1 - (a+b+c) + 6 - 3c + 6 - 1 =
0 <=> a + b + 4c = 12 (I)
x = -1 => 1 + (a+b+c) + 6 - 3c - 6 - 1 =
0 <=> a + b = 2c (II)
Fazendo (II) em (I): 2c + 4c = 12
<=> c = 2 > 0
Voltando em (II): a + b =
4
Portanto, a equação recíproca é x^6 - 6x^5
+ 6x^4 - 6x^2 + 6x - 1 = 0.
Pelo teorema de D'Alambert, se x = 1 e
x = -1 são raízes, então P(x) = x^6 - 6x^5 + 6x^4 - 6x^2 + 6x - 1 é
divisível pelo produto (x-1)(x+1).
Assim, P(x) =
(x-1)(x+1)(x^4-6x^3+7x^2-6x+1) = 0
x^4 - 6x^3 + 7x^2 - 6x + 1 = 0 <=>
x^2 - 6x + 7 - 6/x + 1/x^2 = 0 (pois x é diferente de zero)
(x^2 + 1/x^2) - 6(x + 1/x) + 7 =
0
Se t = x + 1/x , então t^2 - 2 = x^2 +
1/x^2 . Logo:
t^2 -6t + 5 = 0 => t = 5 ou t =
1
t = 5 => x + 1/x = 5 => x^2 - 5x + 1
= 0 => x = [5+sqrt(21)]/2 ou x = [5-sqrt(21)]/2
t = 1 => x + 1/x = 1 => x^2 - x + 1 =
0 => D = 1 - 4*1*1 = -3 < 0 => raízes não reais
Desta forma, temos para a equação recíproca
de segunda espécie quatro raízes reais e duas raízes não reais.
Resposta: D
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
----- Original Message -----From: Pedro CostaSent: Saturday, January 24, 2004 8:22 PMSubject: [obm-l] EquaçõesAjude-me nas questões do ITA1) (ITA - 2003) Das afirmações abaixo sobre a equação z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano complexo:I - A equação possui pelo menos um par de raízes reais.
II - A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1.
III - Se nN* e "r" é uma raiz qualquer desta equação, então
.
é (são) verdadeira(s):
(A) nenhuma
(B) apenas I.
(C) apenas II.
(D) apenas III.
(E) apenas I e III.
2) (ITA - 1993) - Sabendo-se que a equação de coeficientes reais, x6 - (a+b+c)x5 + 6x4 - 3cx2 + 6x - 1 = 0 é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é:
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6
