RE: [obm-l] Duvida de analise (1)

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Niski,

1) Suponha que (Xn) nao seja constante. Entao existem X_i # X_k com i # k.  
Como (Xn) e peirodica, segue que :

X_i  = X_(i+p)  = X_(i+2p)  = ... converge para X_i
X_k = X_(k+p) = X_(k+2p) = ... converge para X_k

Isto e, existem ao menos duas sub-sequencias de (Xn) que convergem para 
limites diferentes,
vale dizer, (Xn) nao e convergente ... ABSURDO !

2) Suponha que (Xn) nao e constante. Entao existem X_i # X_k com  i # k. Sem 
perda de
generalidade podemos supor X_i  <  X_k. Se L for o limite de (Xn) tome um  E 
 > 0 tal que
(L-E,L+E) contenha NO MAXIMO UM dos valores {X_i , X_k}. Entao NAO EXISTE N' 
natural
PARA TODO N > N' implica Xn pertence a (L-E,L+E), pois AO MENOS UM DENTRE

X_i  = X_(i+p)  = X_(i+2p)  = ...
X_k = X_(k+p) = X_(k+2p) = ...

Caira fora de (L-E,L+E) ... OUTRO ABSURDO !

Vemos portanto que a nossa tese e sempre insustentavel e, portanto, se a 
sequencia for
periodica e convergente, ela tambem deve ser constante.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
2,2322,150304

>From: niski <fabio@niski.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Duvida de analise (1)
>Date: Mon, 15 Mar 2004 22:14:26 -0300
>Segue um problema que nao consegui resolver, agradeço a ajuda do pessoal da 
>lista.
>
>"Uma sequencia (x_{n}) diz-se periodica  quando existe p pert N tal que 
>x_{n+p} = x_{n} para todo n pert N. Prove que toda sequencia periodica 
>convergente é constante."
>
>Começei esboçando a hipoteses de uma maneira mais evidente:
>
>hip:
>I)  (x_{n}) é periodica, i.e existe p pert N tal que x_{n+p} = x_{n}
>II) (x_{n}) é convergente, i.e x_{n} possui limite, seja a = lim(x_{n}) 
>este limite então  para todo numero real eps > 0, tem-se um n_{0} natural 
>tal que todos os termos x_{n] com indice n > n_{0} obedece |x_{n} - a| < 
>eps.
>
>tese:
>(x_{n}) é constante. i.e x_{n} = x_{n-1} para qualquer n > 0.
>
>dem:
>???? :o(
>
>Obrigado
>
>--
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