Re: [obm-l] derivadas parciais

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Oi Nicolau,
Aquele problema que circulou na lista me causou
algumas dúvidas. Se você tiver tempo, gostaria de
ajuda, pois estas questões não são cobertas no livro
do Apostol nem do do Bartle (e acho que nem no do
Rudin).

Aquele teorema do valor médio ao qual você se referiu,
bem como aquele mais particular para funcões de R^n ->
R, exige que f seja diferenciável ou exige apenas que
as derivadas direcionais de f existam em um conjunto
contendo o segmento que une a a b? (acho que esta
última condição basta, certo?)

Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e
forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas
as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu
estou tentando provar isso, mas não estou certo. 
Obrigado
Artur




--- "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
wrote:
> On Mon, May 03, 2004 at 09:46:06PM -0300, Claudio
> Buffara wrote:
> ...
> > Entao, o teorema do valor medio diz que existe c =
> (c_1,c_2,...,c_m)
> > pertencente ao segmento de reta que une x e y tal
> que:
> > f(y) - f(x) = <grad(f)(c),y - x> = SOMA(1<=i<=m)
> f_i(c)*(y_i - x_i).
> > onde:
> > grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c;
> > f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no
> ponto c.
> > 
> > Como U eh convexo, c pertence a U.
> > Logo, |f_i(c)| <= M.
> ...
> 
> O que o Claudio fez pode ser mal interpretado. 
> 
> Seja f: R -> R^2 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)).
> Seja y = 2 pi e x = 0.
> 
> Temos f(y) - f(x) = 0.
> 
> Não existe nenhum t no intervalo [0, 2 pi] para o
> qual 
> 
> f(y) - f(x) = f'(t) (y - x)
> 
> O que o teorema do valor médio diz é que existe t
> tal que
> 
>  |f(y) - f(x)| <= |f'(t)| |(y - x)|
> 
> o que aliás é verdade para qualquer t.
> 
> []s, N.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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