Re: [obm-l] OIMU-1998

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Genial como sempre...
Alias, aquela do Presuntinho e do Taz cego foi
otima!
 --- Claudio Buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: >
Seguindo a sugestao do Dirichlet, aqui vai a
> primeira questao da primeira
> Ibero Universitaria:
> 
> OIMU-1998  Problema 1 (4 puntos)
> 
> Las integrales definidas entre 0 y 1 de los
> cuadrados de las funciones
> reales continuas f(x) y g(x) son iguales a 1.
> Demuestre que existe un número
> real c tal que
> 
> f(c) + g(c) <= 2.
> 
> -----
> 
> Suponhamos que f(x) + g(x) > 2, para todo x em
> (0,1).
> 
> Entao, (f(x) + g(x))^2 = f(x)^2 + g(x)^2 +
> 2*f(x)*g(x) > 4.
> 
> Integrando de 0 a 1, obtemos:
> Int(0..1) (f(x)^2 + g(x)^2 + 2*f(x)*g(x))*dx >
> Int(0..1) 4*dx ==>
> 1 + 1 + 2*Int(0..1) f(x)*g(x)*dx > 4 ==>
> Int(0..1) f(x)*g(x)*dx > 1
> 
> Mas tambem: 
> (f(x) - g(x))^2 = f(x)^2 + g(x)^2 - 2*f(x)*g(x)
> >= 0 para todo x em (0,1).
> 
> Logo, Int(0..1) (f(x)^2 + g(x)^2 -
> 2*f(x)*g(x))*dx >= 0 ==>
> 1 + 1 - 2* Int(0..1) f(x)*g(x)*dx >= 0 ==>
> Int(0..1) f(x)*g(x)*dx <= 1 ==>
> contradicao ==>
> existe c em (0,1) tal que f(c) + g(c) <= 2.
> 
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> on 26.04.04 17:15, Johann Peter Gustav Lejeune
> Dirichlet at
> peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:
> 
> Ola turma!!!Que tal a gente fazer umas questoes
> da IObero Universitaria so
> para se divertir?Vou tentar inaugurar o site
> com elas!Quem quiser tem no
> site da OBM, e tem a primeirona em
> 
> http://olimpia.uanarino.edu.co/oimu/oimu.htm
> 
> Qualquer coisa estamos ai!
> Ass.:Johann
> 
> 
>  

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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI 

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE 

Fields Medal(John Charles Fields)
 
N.F.C. (Ne Fronti Crede)



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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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