Re: [obm-l] Infinitas soluções - equação

[Faelccmm@xxxxxxx]

Para Domingos ou qualquer outro participante da lista,

1- Por que 5|B e 3|C pois 3 e 5 são primos ?

2- Esse é um problema olímpico, logo deve haver uma resolução que não envolva criação de programa de computador para resolvê-lo. Logo como alguém poderia resolvê-lo em um vestibular, concurso, olimpíada e processos seletivos em geral ?


Em uma mensagem de 9/9/2004 05:57:05 Hora padrão leste da Am. Sul, dopikas@uol.com.br escreveu:


> > Olá pessoal,
> >
> > Demonstrar que existem infinitos ternos (a, b, c), com a, b, c números 
> > naturais, que satisfazem a relação: 2a^2+ 3b^2 – 5c^2 = 1997.
> >
>
> estou sentindo Deja-vu... já resolvi esse aqui na lista, dá uma olhada.
>
> **** mensagem de 22/07/2004 ****
>
> Com um programa de computador (bem simples, feito em VB) eu encontrei a 
> solução
> a = 31, b = 20, c = 15.
> Na verdade, eu encontrei várias, mas essa pareceu particularmente 
> promissora pois quando a = 31, 2a2 = 1922, que é perto de 1997.
>
> Então, vamos mostrar que existem infinitas soluções naturais com a = 31:
>
> 2*312 + 3b2 - 5^c2 = 1997
>
> 3b2 - 5c2 = 75
>
> dá pra ver que 5|B e 3|C pois 3 e 5 são primos, sendo assim, sejam
> b = 5B
> c = 3C
>
> 75B2 - 45C2 = 75
> 5B2 - 3C2 = 5
>
> agora temos que 5|C, seja então
> C = 5D
>
> 5B2 - 75D2 = 5
>
> B2 - 15D2 = 1
>
> essa aqui é uma instância da famosa eq. de Pell, que admite uma 
> infinidade de soluções inteiras (podemos assumir que as sol. são 
> naturais pois se (B, C) é solução da eq. acima, então (|B|, |C|) também é).