Re: [obm-l] RESOLUÇÃO DUVIDOSA!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 04.11.04 22:17, jorgeluis@edu.unifor.br at jorgeluis@edu.unifor.br wrote:
> 
> Agora, com relação ao problema famoso em teoria dos números, a única coisa que
> sei é que a resposta vale 8n - 4 células que contém um segmento da
> circunferência.......
> 
Muito interessante esse resultado!

E nao muito dificil de provar.
De fato, basta provar que a circunferencia C: x^2 + y^2 = (n-1/2)^2 passa
por 2n - 1 quadrados unitarios contidos no quadrado Q cujos vertices sao
(0,0), (n,0), (0,n) e (n,n).

Restrita a Q, C pode ser dada por: y = raiz((n-1/2)^2 - x^2).

Na k-esima coluna de n quadrados unitarios de Q (1 <= k <= n), quantos deles
contem um arco de C?

A k-esima coluna estah contida entre as retas x = k-1 e x = k.
Logo, o arco de C que intersecta esta coluna estah limitado pelos pontos:
(k-1,raiz((n-1/2)^2 - (k-1)^2))  e  (k,raiz((n-1/2)^2 - k^2)
exceto na n-esima coluna, em que os extremos do arco serao:
(n-1,raiz((n-1/2)^2 - (n-1)^2))  e  (n-1/2,0)

Isso significa que o numero de quadrados unitarios da k-esima coluna
(1 <= k <= n-1) que sao intersectados por C eh igual a:
teto(raiz((n-1/2)^2 - (k-1)^2) - piso(raiz(n-1/2)^2 - k^2)
Na n-esima coluna, este numero eh dado por:
teto(raiz((n-1/2)^2 - (n-1)^2)

Somando, com k variando de 1 a n, obteremos o numero total de quadrados
unitarios intersectados por C:
SOMA(1<=k<=n-1) teto(raiz((n-1/2)^2 - (k-1)^2) - piso(raiz(n-1/2)^2 - k^2)
+
teto(raiz((n-1/2)^2 - (n-1)^2)

Rearranjando esta soma, ficamos com:
teto(raiz((n-1/2)^2))
+
SOMA(1<=k<=n-1) teto(raiz((n-1/2)^2 - k^2) - piso(raiz(n-1/2)^2 - k^2)

O primeiro termo (fora do somatorio) eh igual a teto(n-1/2) = n.
Cada termo do somatorio eh da forma teto(x) - piso(x), o que, a menos que x
seja inteiro, eh igual a 1.

Logo, se para 1 <= k <= n-1, raiz((n-1/2)^2 - k^2) nao for inteiro, o
somatorio serah igual a uma soma de n-1 parcelas iguais a 1, o que dah um
total de n + (n-1) = 2n-1 quadrados intersectados por C.

Assim, pra completar a demonstracao, basta mostrar que, para 1 <= k <= n-1,
raiz((n-1/2)^2 - k^2) nao eh inteiro <==>
(n-1/2)^2 - k^2 nao eh quadrado perfeito.
Mas (n-1/2)^2 - k^2 = n^2 - n - k^2 + 1/4 = M + 1/4, com M inteiro, o que
claramente nao eh quadrado de nenhum numero inteiro.

Logo, a demonstracao estah completa e, incidentalmente, a minha conjectura
de que C(n)/n tende a 2*Pi eh falsa (C(n) = no de quadrados unitarios
contidos no quadrado de vertices (n,n), (n,-n), (-n,n) e (-n,-n) e
intersectados por C). O certo eh que C(n)/n tende a 8, mas o resultado exato
C(n) = 8n - 4 eh muito mais forte. Incidentalmente, esse eh o numero de
quadrados unitarios na borda da quadrdao maior.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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