Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 08.11.04 12:35, Luís Lopes at qed_texte@hotmail.com wrote:
>  
> Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta
> simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC.
> 
> Lema: a reta m contém um e somente um ponto O tal que o /_ AOB = /_ ACD .
> O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD é cíclico.
> 
Agora faz sentido!

> Dos triângulos ACD e AOB, temos /_ ABO = /_ ADC .
>
> Assim, se ABCD é cíclico, o ponto O está no lado BC; e somente nesse caso,
> pois, reciprocamente, se O está em BC então ABCD é cíclico.
>
> Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD é cíclico.
> 
> Na dem. do lema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d.
>
Pois os triangulos OBA e CDA sao semelhantes.

> Daí a const. que segue:
> 
> 1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d
> (com B entre O e > C). Isso implica que OC = (ac + bd)/d = xy/d.
> 
> 2) um lg para A é o círculo (B,a). O outro é um círc. de Apolônio
> considerando os pontos O e C.
>
Ou seja, A pertence ao l.g. dos pontos X tais que |XO|/|XC| = a/d.
 
Legal, com A construido, basta tracar os circulos (A,d) e (C,c), cujo ponto
de interseccao no interior do angulo ABC eh justamente D.

O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo
Wagner.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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