[obm-l] Sequencia das medias ponderadas

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Boa tarde.

Eu estava trabalhando com um algoritmo e me apareceu
uma sequencia que pode ser vista como a seq. das
medias ponderadas. Se x_n eh uma sequencia de numeros
reais e p_n, com p_n>0 para todo n, eh uma sequencia
de pesos, entao a sequencia das medias ponderadas de
x_n com relacao aos pesos p_n eh s_n =
(p_1*x_1....+p_n*x_n)/(p_1...+p_n). 
Eu estava precipitadamente assumindo que se x_n -> x
entao s_n -> x, e aih me dei conta que isto nem sempre
eh verdade. Um exercicio interessante eh demonstrar o
seguinte (a menos que eu tenha me enganado....)  

Se a serie Soma(p_n, n=1,oo) divergir, entao valem
para s_n aquelas mesma desigualdades validas para a
seq. das medias aritmeticas, ou seja, lim inf x_n <=
lim inf s_n <= lim sup s_n <= lim sup x_n. Temos
portanto que, se, se x_n -> x, entao s_n -> x. Isto eh
valido nao apenas em R como tambem no R expandido,
caso x= oo ou x = - oo.

Se a serie Soma(p_n, n=1,oo) convergir em R e x_n for
limitada, entao s_n converge para algum real s. Logo,
se x_n convergir para algum real x, entao x_n eh
limitada e s_n converge para algum real s, mas s e x
nao tem que ser iguais. 

Para os outros casos, creio que nao eh possivel dar
uma condicao generica, cada um tem que ser analisado
individualmente.
Artur


		
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