Re: [obm-l] questão do livro do Mestre Wagner

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] questão do livro do Mestre Wagner

on 23.01.05 21:27, Palmerim Soares at palmerimsoares@yahoo.com.br wrote:

> Ola pessoal,
> Alguem poderia me ajudar com a questao 57 do livro I de geometria do Mestre Wagner? Seguinte:
> O Ponto D eh o pe da perpendicular da bissetriz do angulo reto A do triangulo retangulo ABC. Pelo ponto D, traça-se uma perpendicular ao lado BC a qual intercepta o lado AC no ponto E. Qual a medida do angulo EBD?
> Obrigado,
> Palmerim


Imagino que D seja o ponto de interseccao de BC com a bissetriz de BAC.


Nesse caso, existem tres possibilidades: |AB| < |AC|, |AB| = |AC| ou |AB| > |AC|.

|AB| = |AC| eh facil ==>
ABC eh retangulo isosceles e E = A ==> EBD = ABC = 45 graus.

***

|AB| < |AC| ==> E estah entre A e C

Triangulos ABC e DEC sao semelhantes ==> 
|DE|/|AB| = |CD|/|AC| ==>
|DE| = |CD|*|AB|/|AC|

Teorema da bissetriz interna em BAC ==> 
|CD| = |BC|*|AC|/(|AB|+|AC|)    e   |BD| = |BC|*|AB|/(|AB|+|AC|)

Logo, |DE| = |BC|*|AB|/(|AB|+|AC|) = |BD|

Mas tg(EBD) = |DE|/|BD| = 1 ==> EBD = 45 graus

***

O caso em que |AB| > |AC| sai de forma analoga (repare que, neste caso, A estah entre E e C) e tambem resulta em EBD = 45 graus.


[]s,
Claudio.