[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re:[obm-l] Geometria



É fácil ver que, para qualquer P no interior do triângulo, vale:
ax + by + cz = 2A, onde A = área do triangulo.
 
Você quer o valor mínimo de F(x,y,z) = a/x + b/y + c/z.
 
2A*F(x,y,z) =
(ax + by + cz)*(a/x + b/y + c/z) =
a^2 + b^2 + c^2 + ab(x/y + y/x) + ac(x/z + z/x) + bc(y/z + z/y) >=
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc =
(a + b + c)^2.
 
Acima eu usei a desigualdade bem conhecida z + 1/z >= 2 se z > 0, com igualdade <==> z = 1.
 
Logo, o valor mínimo de 2AF(x,y,z) (e, portanto, de F(x,y,z)) ocorre quando x/y = y/z = x/z = 1, ou seja, quando x = y = z <==> P é o incentro.
 
O valor mínimo de F(x,y,z) é igual a (a + b + c)^2/(2A).
 
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "Lista OBM" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 4 Apr 2005 07:34:58 -0300
Assunto: [obm-l] Geometria
>   Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam x, y e z as distâncias de P aos lados de comprimentos a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/x)+(b/y)+(c/z) ocorre quando P é o incentro do triângulo.
>  
>    Desde já agradeço!!!