Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2

[fabiodjalma <fabiodjalma@xxxxxxxxx>]

Gostei muito dessas soluções. No entanto prefiro assim: 
1^2 + 2^2 + ... + n^2 = Soma[k^2] com k = 1 a n. 
O objetivo é escrever k^2 como a combinação linear de produtos de números 
consecutivos. 
Assim temos: k^2 = k.(k-1)+k 
Soma(k^2) com k = 1 a n transforma-se em Soma[k.(k-1)+k]com k = 1 a n. 
Que pode ser escrita como Soma[k.(k-1)] + Soma[k] com k = 1 a n. 

Observe que k.(k-1)= 2.Bin(k,2) e k = Bin(k,1) 
Desta forma, Soma[k.(k-1)] + Soma[k] = Soma[2.Bin(k,2)] + Soma[Bin(k,1)] = 
2.Soma[Bin(k,2)] + Soma[Bin(k,1)] com k = 1 a n = 
2.Bin(n+1,3)+Bin(n+1,2) = 2.(n+1).n.(n-1)/6 + (n+1).n/2 = 
=(n+1).n.[(n-1)/3 + 1/2] = (n+1).n.[2n-2+3/6] =  (n+1).n.[2n+1/6] 


Em (14:49:10), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 


>On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300, claudio.buffara wrote: 
>> Ontem alguém perguntou aqui na lista como se demonstrava a fórmula da 
soma 
>> dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos. 
> 
>Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstração. 
> 
>Na verdade este assunto já foi discutido várias vezes nesta lista 
>e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos. 
> 
>Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos definir f também como 
>a única função de Z em Z que satisfaz f(0) = 0, f(n) = f(n-1) + n^2. 
> 
>É fácil ver que f é um polinômio de grau 3. De fato, considere a 
>seguinte transformação linear: T(a,b,c) = (d,e,f) se, sendo 
>g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1) = dn^2 + en + f. 
>A transformação linear T é bem definida pois os termos de grau 3 
>se cancelam; T também é injetora, pois g(n) - g(n-1) = 0 para todo n 
>implica que g é constante logo, como não há termos constante em g, 
>temos g = 0. Assim T é inversível. Note que o mesmo raciocínio 
>demonstra que se h é um polinômio de grau k e se g satisfaz 
>g(n) = g(n-1) + h(n) então g é polinômio de grau k+1. 
> 
>Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d, f(0) = 0, f(1) = 1, 
>f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3: 
> a + b + c = 1 
> 8a + 4b + 2c = 5 
>27a + 9b + 3c = 14 
>e podemos facilmente achar a, b e c. 
> 
>Mas acho mais elegante neste caso ver quais são as raízes de f. 
>Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que f(-2) = - (-1)^2 = -f(1), 
>f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ..., 
>f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 = -f(n). 
>Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a terceira raiz. 
>Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substituição obteria o valor de c, 
>mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3 n^3 donde c = 1/6. 
> 
>[]s, N. 
>========================================================================= 
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
>========================================================================= 
> 
>----------