RE: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Rhilbert e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Tambem só para constar, segue a solucao que um Matematico deu, quando ainda 
era crianca :

Seja Sn=1+2+...+N. Podemos imaginar a soma dos quadrados (Sq) colocados 
assim

1+2+3+4+...+N
*+2+3+4+...+N
*+*+3+4+...+N
*+*+*+4+...+N
...
*+*+*+*+...+N

Substituindo ( de cima para baixo ) cada * pelo numero acima, termos um 
quadradinho cuja soma dos termos e claramente igual a N*Sn. IMAGINE retirada 
a diagonal principal desse quadrinho ( que faz parte de Sq ). E facil 
perceber agora que cada coluna da parte de cima (acima da diagonal principal 
que foi imaginariamente retirada ) e o dobro de cada linha da parte de baixo 
( abaixo da diagonal principal ). Isto e : Sq - Sn =2*(N*Sn - Sq) => 
Sq=[(2*N+1)*Sn]/3

Preenchendo um cubinho e supondo conhecidos Sn e Sq e possivel rapidamente e 
claramente achar
1^3 + 2^3 + ...+N^3. Como ?

Um Abraco a todos !
Paulo Santa Rita
4,2117,060405




>From: "Rhilbert Rivera" <rhilbert1990@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: RE: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2
>Date: Wed, 06 Apr 2005 19:23:47 +0000
>
>Essa já deve ter por aí na lista, mas só para constar...
>
>Lembremos que (n + 1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3.n + 1
>
>Para n = 0, 1, 2, ...,n , temos
>n = 0,  (0+1)^3 = 1^3     = 0^3 + 3.0^2 + 3.0 + 1
>n = 1,  (1+1)^3 = 2^3     = 1^3 + 3.1^2 + 3.1 + 1
>n = 2,  (2+1)^3 = 3^3     = 2^3 + 3.2^2 + 3.2 + 1
>n = 3,  (3+1)^3 = 4^3     = 3^3 + 3.3^2 + 3.3 + 1
>n = 4,  (4+1)^3 = 5^3     = 4^3 + 3.4^2 + 3.4 + 1
>........................................................................
>n = n,  (n+1)^3 = (n+1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3.n + 1
>
>Somando membro a membro as (n + 1) igualdades acima, fica:
>
>1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + 
>3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).1
>
>arrumando, vem:
>
>(n + 1)^3 = 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).
>
>Chamemos de S a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... +n^2 .
>Admitindo conhecido que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n+1)/2  e fazendo as 
>substituições:
>
>(n + 1)^3 = 3.S + 3.n(n+1)/2 + n+1.
>
>Isolando o termo S, etcetera e tal , obtemos a soma procurada
>
>S=n*(n+1)*(2n+1)/6.
>
>( ^_ ^)
>
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>Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
>http://www.msn.com.br/discador
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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