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[obm-l] Re: [obm-l] cálculo no R^n



Oi pessoal, estou de volta.  Vou tentar resolver (realmente
quando se trata de demonstrações eu sou mesmo um
mau técnico):
 
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1) Mostre que g(x,y) = (int_{0 ... x-y} f(t) dt, int_{0 ... xx - yy} f(t) dt) é um difeomorfismo do aberto A = {(x,y) em R^2 ; 0 < x < y} sobre um aberto de R^2, sabendo que a função f: [0,+infinit) --> (0, +infinito) é contínua.
 
 
Neste caso, consideremos que o aberto de R^2 resultante
seja a  imagem da aplicação de g sobre A.
   Inicialmente mostramos que a aplicação g(x,y) é injetiva
sobre a imagem pois no caso que abordamos
ela é sobrejetiva (não demonstrado aqui). Com isso
    provamos que (x,y) --> g(x,y) é um
homeomorfismo.   Para provar que a aplicação é um
difeomorfismo basta considerar a derivada de g(x,y) em
relação a t.   Fazemos isso aplicando a regra de Leibnitz
(diferenciação sobre o sinal de integração).  Como por
hipótese a função f(t) é contínua sobre o intervalo
considerado  teremos pela fórmula de Leibnitz e pela
composição de funções contínuas (que é contínua) temos
portanto um difeomorfismo.  
       Faltam detalhes é claro, mas acho que esta é a idéia
básica.
 
 
 
 
 
 
----- Orig
 
inal Message -----
From: Lista OBM
Sent: Wednesday, April 06, 2005 5:17 PM
Subject: [obm-l] cálculo no R^n

Gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
 
1) Mostre que g(x,y) = (int_{0 ... x-y} f(t) dt, int_{0 ... xx - yy} f(t) dt) é um difeomorfismo do aberto A = {(x,y) em R^2 ; 0 < x < y} sobre um aberto de R^2, sabendo que a função f: [0,+infinit) --> (0, +infinito) é contínua.
 
Notação: int_{b ... c} f(t) dt = integral de f(t), com t variando de b a c.
 
          
 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x. Mostre que f é de classe C infinito e que leva a bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente. Mostre que, entretanto, a aplicação inversa não é diferenciável na origem.
 
Notação: <,> = produto interno
 
Grato desde já, Francisco Medeiros.


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