Re: [obm-l] Re: [obm-l] cálculo no R^n

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Meu caro Ronaldo,

naum ficou muito claro o q vc quiz dizer!!! Gostaria
de saber se poderia fazer uma coisa mais precisa?

Sem mais.


--- Ronaldo Luiz Alonso
<ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br> wrote:
> Oi pessoal, estou de volta.  Vou tentar resolver
> (realmente
> quando se trata de demonstrações eu sou mesmo um
> mau técnico):
> 
> -------------------------
> 1) Mostre que g(x,y) = (int_{0 ... x-y} f(t) dt,
> int_{0 ... xx - yy} f(t) dt) é um difeomorfismo do
> aberto A = {(x,y) em R^2 ; 0 < x < y} sobre um
> aberto de R^2, sabendo que a função f: [0,+infinit)
> --> (0, +infinito) é contínua.
> 
> 
> Neste caso, consideremos que o aberto de R^2
> resultante
> seja a  imagem da aplicação de g sobre A.
>    Inicialmente mostramos que a aplicação g(x,y) é
> injetiva
> sobre a imagem pois no caso que abordamos 
> ela é sobrejetiva (não demonstrado aqui). Com isso 
>     provamos que (x,y) --> g(x,y) é um 
> homeomorfismo.   Para provar que a aplicação é um 
> difeomorfismo basta considerar a derivada de g(x,y)
> em
> relação a t.   Fazemos isso aplicando a regra de
> Leibnitz
> (diferenciação sobre o sinal de integração).  Como
> por
> hipótese a função f(t) é contínua sobre o intervalo 
> considerado  teremos pela fórmula de Leibnitz e pela
> 
> composição de funções contínuas (que é contínua)
> temos
> portanto um difeomorfismo.   
>        Faltam detalhes é claro, mas acho que esta é
> a idéia
> básica.
> 
> 
> 
> 
> 
> 
>   ----- Orig
> 
>   inal Message ----- 
>   From: Lista OBM 
>   To: Lista OBM 
>   Sent: Wednesday, April 06, 2005 5:17 PM
>   Subject: [obm-l] cálculo no R^n
> 
> 
>   Gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
> 
>   1) Mostre que g(x,y) = (int_{0 ... x-y} f(t) dt,
> int_{0 ... xx - yy} f(t) dt) é um difeomorfismo do
> aberto A = {(x,y) em R^2 ; 0 < x < y} sobre um
> aberto de R^2, sabendo que a função f: [0,+infinit)
> --> (0, +infinito) é contínua.
> 
>   Notação: int_{b ... c} f(t) dt = integral de f(t),
> com t variando de b a c.
> 
>             
>    2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x.
> Mostre que f é de classe C infinito e que leva a
> bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente.
> Mostre que, entretanto, a aplicação inversa não é
> diferenciável na origem.
> 
>   Notação: <,> = produto interno
> 
>   Grato desde já, Francisco Medeiros.
> 
> 
>
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