Re: [obm-l] trigonometria-ajuda

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Apr 18, 2005 at 09:41:42AM -0300, Ronaldo Luiz Alonso wrote:
> Como se encontra o valor numérico de cos80°?
> 
>       Essa é uma boa pergunta.   80 =  60 + 20.
>        cos e sen de 60 você sabe.
>       O problema é achar cos e sin de 20.
>       Para isso você tem que aplicar a fórmula do arco triplo.
>        E aí você tem uma equação do 3 grau.
> 
>  Não é uma boa saída tentar resolver a bendita!
> 
>             A menos
>         que você use fórmulas para raízes cúbicas de números complexos,
> pois na fórmula deste tipo de equação cúbica o valor que aparece na
> raiz quadrada é *negativo* (a equação tem uma única solução real) e
> duas complexas conjugadas).
> 
>      Dá para fazer mas é trabalhoso.
> 
>      É mais fácil fazer o seguinte:
>              Construa um triângulo com vértice no centro do círculo e
>         ângulo de de 60 = 3 * 20.  Daí você divide o arco
>        em três partes e por semelhança de triângulos tenta achar
>        o valor dos lados (acho que fiz isso para achar).  Daí por somas
> e subtrações de segmentos acha o valor.  Se eu
> não me engano o valor que obtive para sin 20 era
>        __________
>                     ___
>      V 3 -  V  2
> 
>              Quando você conseguir, você substititui
>      o valor na equação cúbica acima.
> 
>     Se o valor satisfizer a equação
>     beleza.  Seus problemas se acabaram.

Não consegui ler nem adivinhar nada da formula acima, o que é uma pena
pois eu tenho muito interesse em saber o que ela dizia. Pelo que sei,
não existem formulas para c = cos(20 graus) ou s = sen(20 graus)
significativamente melhores do que

c = (cbrt((1 + sqrt(-3))/2) + cbrt((1 - sqrt(-3))/2))/2
s = (cbrt((1 + sqrt(-3))/2) - cbrt((1 - sqrt(-3))/2))/2i

(onde sqrt significa raiz quadrada e cbrt significa raiz cúbica).
Estas formulas são fáceis de demonstrar e entender. Afinal 

(1 +- sqrt(-3))/2 = cos(60 graus) +- i sen(60 graus)

donde

cbrt(1 +- sqrt(-3))/2 = cos(20 graus) +- i sen(20 graus)

Por outro lado, elas são em certo sentido tautologicas e inúteis.
Sei também que não é possível reescrever as expressões acima
usando apenas raízes quadradas e cúbicas reais, isto é um problema de 
teoria de Galois e o Gugu já escreveu um artigo sobre isto.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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