RES: [obm-l] Conjunto e Corpo

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Oi Daniel
Estas definicoes podem ser encontradas em livros de algebra, mas vou tentar
ajudar.

Um corpo eh uma estrutura algebrica formada por um comjunto e duas operacoes
nele definidas, geralmente denominada de adicao e de multiplicacao, mesmo
que nao sejam aquelas operacos usuais definidas no conjunto dos reais.  Seja
A um conjunto nao vazio e sejam + e * operacoes binarias definidas em A^2 e
com valores em A (caso tipico da adicao e multiplicacao nos reais). Dizemos
que A eh um corpo com relacao a estas operacoes se, para todos elementos x,
y e z de A, for verdade que 

x+ y = y+ x (propriedade comutativa da adicao)
x + (y+z) = (x+y) + z (propriedade associativa da adicao)
Exste um elemento neutro para a adicao, o 0 (aqui, 0 nao tem que ser o real
0), tal que x+0 = 0+x = x para todo x de A 
x * y = y * x (propriedade comutativa da multiplicacao)
x * (y*z) = (x*y) * z (propriedade associativa da multiplicacao)
Existe um elemento neutro 1<>0 (aqui, 1 nao tem que ser o real 1) tal que
x*1 = 1*x para todo x de A 
Para todo x de A, existe um elemento simetrico -x tal que x +(-x) = 0
Para todo x<>0 de A, existe um reciproco x' = 1/x , tal que x*x' = x'*x =1. 
Para todos x, y e z de A x*(y+z) = x*y + x*z (propriedade distributiva da
multiplicacao com relacao aa adicao)

Se estes axiomas forem satisfeitos, entao dizemos que A eh um corpo com
relacao a s operacoes + e *, ou que estas operacoes definem uma estrutura de
corpo em A. Os reais e os complexos sao um corpo com relacao aas operacoes
usuais de + e de *. O R^2 nao eh, pois nao tem definida sobre o mesmo a
operacao de multiplicacao. Eh um espaco vetorial, mas nao um corpo.

O coceito de corpo eh uma extensao dos conceitos de grupo, grupo abeliano, e
anel, que vc encontra nos livros de algebra. Podemos dizer que um corpo eh
um anel de integridade em que todo elemento nao nulo eh inversivel. Um anel
eh dito de integridade se a*b = 0 <==> a=0 ou b=0, para todos a e b do anel.
O conjunto das matrizes de elemntos reais de ordem >=2 eh um anel mas nao de
integriddae, pois podemos ter A*B = 0 sem que nem A e nem B sejam matrizes
nulas. 

Um corpo eh dito ordenado se nele for definida uma relacao de ordem como as
relacoes > ou < dos reais, isto eh uma relacao  transitiva e anti-simetrica.
Um corpo ordenado A eh dito completo se todo subconjunto de A que for
limitado superiormente possuir um menor limite superior, denominado de
supremo. Se no corpo ordenado estiver definida uma norma, entao isto
equivale a dizer que toda sequencia de Cauchy eh convergente.

Os reais sao um corpo completo, já os racionais não são. O conjunto {x em Q
| x^2 <2 } possui limite superior mas nao possui supremo.  

Este assunto eh extenso, consulte um bom livro de algebra.
Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Daniel Regufe
Enviada em: Wednesday, April 20, 2005 11:33 AM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Conjunto e Corpo 


Alguem pode me explicar oq um conjunto tem q ter ou ser pra ser considerado 
um corpo ? E um corpo ordenado ? e um corpo ordenado completo ??  essas 
definições de corpo me confundem muito ... e se puderem me falar onde q erá 
usado essa definição de corpo , serei grato !

abraços
Daniel Regufe

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