Re: [obm-l] Elemento Nilpotente

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Elemento Nilpotente

Oi, pessoal:

O Gugu apontou um problema na demonstracao abaixo.

Quando eu olho pro conjunto S dos ideais J que nao contem nehuma potencia de x, nada impede que o unico elemento de S seja o ideal (0). 
Isso implica que P = elemento maximal de S = (0).

O problema eh que, no fim, eu concluo que P eh um ideal primo.

Se o anel for um dominio, tudo bem, pois o ideal (0) eh um ideal primo de um dominio e a demonstracao fica perfeita.
No entanto, se o anel tiver divisores de zero, (0) nao serah um ideal primo.

Assim, acho que preciso mudar a demonstracao: ao inves de concluir que P eh um ideal primo, eu tenho que concluir que "P = (0) ou P eh um ideal primo".

Com isso, mesmo tomando a e b tais que ab = 0, eu chego em:
x^(m+n) pertence a (ab) + P, que serah igual a (0) se P = (0).
Isso tambem eh uma contradicao, pois x eh nao-nilpotente por hipotese e a demonstracao fica salva (acho eu!)

***

De qualquer forma, gostaria de ter uma demonstracao separada de que, no caso de um anel com divisores de zero, algum dos J eh necessariamente nao trivial ou seja, se x for nao-nilpotente, existe algum ideal nao nulo (nao necessariamente primo) que nao contem nenhuma potencia de x.

Alguem tem alguma ideia?

Por exemplo, em Z_n (n composto), os ideais primos sao da forma ([p]), onde p eh um dos fatores primos de n.
Se n for livre de quadrados, entao Z_n nao terah elementos nilpotentes.
Caso contrario, pondo n = p1^a1*p2^a2*...*pr^ar, com algum dos ai >= 2, os elementos nilpotentes de Z_n serao os [m], tais que m eh um divisor proprio de n que seja divisivel por p1*p2*...*pr.
Como os ideais primos de Z_n sao ([p1]), ([p2]), ..., ([pr]), eh facil ver que a interseccao deles eh justamente o conjunto (de fato, o ideal) dos nilpotentes de Z_n e, portanto, que:
x nao eh nilpotente <==> algum pi nao divide x <==> x nao pertence a ([pi]).

[]s,
Claudio.

on 18.04.05 18:55, claudio.buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> Oi, Carol:
>  
> Obrigado pela dica. Com ela consegui acabar a demonstração.
>  
> Fiz a construção padrão para usar o lema de Zorn (não sabia que era de Kuratowski também), colocando I(T) = União(J em T) para cada subconjunto totalmente ordenado T de S e concluindo que T é limitado superiormente por I(T), que é claramente um ideal. 
> Daí, pelo lema, S tem um elemento maximal P.
>  
> Como P pertence a S, x^n não está contido em P para nenhum n > 0.
> Em particular, x não pertence a P.
>  
> Agora, sejam a, b elementos do anel tais que: 
> a não pertence a P   e   b não pertence a P. 
> Então, P está propriamente contido nos ideais (a) + P e (b) + P, de modo que estes ideais não pertencem a S (pois P é um elemento maximal de S) e, portanto, existem inteiros positivos m e n tais que:
> x^m pertence a (a) + P   e   x^n pertence a (b) + P ==>
> x^(m+n) = x^m*x^n pertence a ((a) + P)*((b) + P) = (ab) + P.
> Além disso, como x é, por hipótese, um elemento não nilpotente, x^(m+n) <> 0 ==>
> ab não pode pertencer a P pois, se pertencesse, teríamos que
> x^(m+n) pertence a (ab) + P = P, uma contradição ==>
> P é um ideal primo ao qual x não pertence ==>
> contradição pois, por hipótese, x pertence a todos os ideais primos do anel. 
>  
> Conclusão: x tem que ser nilpotente.
>  
>  
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia: 
> Data: Sun, 17 Apr 2005 19:48:01 -0300
> Assunto: Re: [obm-l] Elemento Nilpotente
> > Olá, Claudio.
> >  
> > Tenho uma sugestão.
> >  
> > Tome x um elemento pertencente a todos os ideais primos de um anel comutativo.
> > Suponha que x não seja nilpotente.
> >  
> > Seja S o conjunto dos ideais J que verificam a seguinte propriedade: x^n não pertence a J, se n > 0.
> >  
> > Mostre que S é ordenado (por inclusão) indutivo. Pelo lema de Zuratowski-Zorn, S tem um elemento maximal P.
> >  
> > Verifique que P é um ideal primo. Assim, obtemos uma contradição, pois P é um ideal primo ao qual x não pertence.
> >  
> > Logo, x é nilpotente.
> >  
> > []s
> > Carol
> > ----- Original Message ----- 
> > From: claudio.buffara <mailto:claudio.buffara@terra.com.br>  
> > To: obm-l <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>  
> > Sent: Sunday, April 17, 2005 7:12 PM
> > Subject: [obm-l] Elemento Nilpotente
> > > 
> > > Como é que eu provo que se um elemento pertence a todos os ideais primos de um anel comutativo, então este elemento é nilpotente?
> > >  
> > > Obs: a recíproca também vale, mas esta eu consegui provar.
> > >  
> > > []s,
> > > Claudio.