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Re: [obm-l] Trivialidades Nao ! ( CORRECAO )
Caro Paulo,
A pergunta deve ser qual é o MAIOR valor possível para s, não ? De fato,
se for mesmo o menor, a resposta é trivialmente 0. X_1 pode ser tão próximo
de 0 quanto queiramos, o que faz X_1/(1+X_1) ainda mais próximo de 0. Vamos
então mudar desse jeito o enunciado, e tentar resolver o problema.
Seja r_k=X_k/(1+X_1+X_2+...+X_k). Temos X_1=r_1/(1-r_1), e, por indução,
X_k=r_k/(1-r_1)(1-r_2)...(1-r_k), e 1+X_1+...+X_k=1/(1-r_1)(1-r_2)...(1-r_k)
para todo k>=1. Assim, se r_k>=s para todo k, temos que
2=1+X_1+...+X_n>=1/(1-s)^n, donde 1-s>=2^(-1/n), e logo s<=1-2^(-1/n)=:C.
Esse é o maior valor possível de s, atingido fazendo r_k=C para todo k, e
logo X_k=C/(1-C)^k, para todo k>=1. Note que, de fato, temos
X_1+X_2+...+X_n=(C/(1-C)^n).(1-(1-C)^n)/(1-(1-C))=1/(1-C)^n-1=2-1=1.
Note ainda que, se s fosse, em vez do menor, o maior desses números, e
perguntássemos pelo menor valor possível de s, a resposta seria a mesma.
Abraços,
Gugu
>
>Ola Pessoal,
>
>Na mensagem abaixo, na questao 3) leia-se na OBS : nao e permitido usar
>CALCULO DIFERENCIAL ! Nesta mesma questão os valores continuam, isto e, "s"
>deve ser o menor valor de :
>
>X1/(1+X1) , X2/(1+X1+x2), X3/(1+X2+X3),..., Xi/(1+X1+...+Xi),
>...,Xn/(1+X1+...+Xn)
>
>Desculpas a todos ( e a pressa ) : !
>
>Paulo Santa Rita
>5,1052,100305
>
>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: [obm-l] Trivialidades Nao !
>>Date: Thu, 10 Mar 2005 13:18:41 +0000
>>
>>Ola Claudio e demais colegas
>>desta lista ... OBM-L
>>
>>Realmente : deprimente !
>>
>>Esta nossa lista foi concebida originalmente como um meio informal onde
>>podemos discutir Problemas Olimpicos de Matematica, nao problemas triviais
>>de vestibulares. Existem muitissimos lugares na internet onde se pode
>>postar e discutir estes problemas triviais, mas pouquissimos onde se
>>discute problemas de Matematica Olimpica. Assim, dado a raridade e a
>>importancia deste nosso local, vamos todos contribuir para manter a sua
>>caracteristica e objetivos iniciais.
>>
>>PROBLEMAS :
>>
>>1) IMAGINE um quadriculado em forma de quadrado, 1000X1000, portanto com
>>1000000 quadradinhos. Usando somente os algarismos 0,1 e 2 e possivel
>>preencher o quadriculado de tal forma que qualquer retangulo 3x4 ( ou 4x3 )
>>contenha 3 algarismos zeros, 4 algarismos um e 5 algarismos dois ?
>>Justifique sua resposta.
>>
>>2) Sejam X1, X2, ..., Xn numeros reais positivos tais que X1 + X2 + ... +
>>Xn =1. Seja s o menor dos numeros : X1/(1+X1) , X2/(1+X1+X2) ,
>>X3/(1+X1+X2+X3). Qual e o menor valor possivel para s ?
>>OBS : Alunos das Escolas Russas onde caiu esta questao nao sabem ou nao
>>podem CALCULO
>>
>>3) Prove que para todos A, B e C reais positivos vale :
>>A^3 + B^3 + c^3 + 3ABC >= AB(A+B) + BC(B+C) + AC(A+C)
>>
>>Mais problemas russos em :
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr
>>
>>Um Grande Abraco em todos !
>>Paulo Santa Rita
>>5,1017,100305
>>
>>
>>>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>Subject: Re: [obm-l] Equação
>>>Date: Thu, 10 Mar 2005 00:57:15 -0300
>>>
>>>Nesse caso eu nao sei o que eh mais deprimente numa lista que trata de
>>>olimpiadas de matematica: alguem escrever x^2+1/(x+1)^2 quando queria
>>>dizer
>>>(x^2+1)/(x+1)^2 ou alguem nao saber resolver uma misera equacao do 2o.
>>>grau.
>>
>>_________________________________________________________________
>>Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
>>http://www.msn.com.br/discador
>>
>>=========================================================================
>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>=========================================================================
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>Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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