Caramba! Eu devo estar com alguma maldição. Não consigo acertar nada de primeira...
Sejam A um anel comutativo com 1 que não é corpo e x um elemento não-nilpotente de A. Então A possui um ideal I <> (0) ao qual x não pertence.
Claudio.
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> Acho que agora foi...
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> O teorema é o seguinte:
> Sejam A um anel comutativo com 1 e x um elemento não-nilpotente de A.
> Então A possui um ideal I ao qual x não pertence.
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> Se A for um corpo, então qualquer não-nilpotente é invertível e nenhum invertível pertence ao ideal (0). Assim, podemos tomar I = (0).
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> Se A não for um corpo, temos dois casos a considerar:
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> Caso 1: x não é um divisor de zero.
> Nesse caso, seja a um elemento não-nulo e não invertível de A.
> Seja I = (ax).
> Suponhamos que x pertence a I.
> Então, existe b em A tal que x = bax ==>
> x(1 - ba) = 0 ==>
> 1 - ba = 0, pois x não é divisor de zero ==>
> ba = 1 ==>
> a é invertível ==>
> contradição ==>
> x não pertence a I.
>
> Caso 2: x é um divisor de zero.
> Nesse caso, existe y em A tal que y <> 0 e xy = 0.
> Seja I = (y).
> Suponhamos que x pertence a I.
> Então, x = by, para algum b em A ==>
> x^2 = xby = bxy = 0 ==>
> x é nilpotente ==>
> contradição ==>
> x não pertence a I.
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> ***
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> Corolário:
> Seja x um elemento não-nilpotente de algum anel A (comutativo com 1) que não é corpo. Seja S = {J | J é ideal de A e, para todo inteiro positivo n, x^n não pertence a J}.
> Então, S possui algum ideal diferente de (0).
>
>
> []s,
> Claudio.