| De: | owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| Cópia: |
| Data: | Mon, 11 Jul 2005 11:11:16 -0300 |
| Assunto: | RES: [obm-l] Valor intermeio |
Aqui vale alguns comentários: 1) o centro de uma circunferência que passa por A e B está na mediatriz de A e B. Além disso, o raio dela é sempre maior ou igual a r_0 onde r_0 = d(A,B)/2. Desse modo o argumento de “ir diminuindo o número de pontos dentro da circunferência” me parece um pouco simplificado.
Como há apenas um número finito de pontos e nenhuma circunferência passa por mais do que três deles, eu acho que o argumento original, apesar de simplificado e talvez excessivamente informal, está correto.
Porém a idéia central está correta. Deve-se pensar que existe um caminho contínuo de circunferências (basta escolher um caminho de centros sobre a mediatriz) de forma que no início todos os pontos estão dentro dela e no final nenhum ponto está. Daí pode-se concluir que “em algum instante no meio do caminho” tem-se uma circunferência que contém apenas n pontos. E a construção desse caminho não é complicada.
2) Deve-se assumir também que não há 3 pontos colineares, que é usado no início demonstração.
De: owner-
Enviada em: Sunday, July 10, 2005 2:13 PM
Para: obm-l
Assunto: Re:[obm-l] Valor intermeio
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De: |
owner- |
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Para: |
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Cópia: |
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Data: |
Sun, 10 Jul 2005 12:41:57 +0200 |
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Assunto: |
[obm-l] Valor intermeio |
> 3- Dado um conjunto de 2n+3 pontos no plano de modo que não existam 4 que pertençam a mesma circunferencia, demostrar que existe uma circunferencia que passa por 3 deles e deixa n pontos no seu interior.
>
Trace a reta por 2 pontos (digamos, A e B) tais que todos os outros estejam num unico semi-plano determinado por ela. Esta reta pode ser interpretada como uma circunferencia de raio infinito. Em outras palavras, existe um numero positivo R_0 tal que se R > R_0, entao existe uma circunferencia de raio R, passando por A e B, e tal que todos os demais 2n+1 pontos estao em seu interior. Comece a reduzir o raio desta circunferencia. Segundo o enunciado, para cada valor do raio, a circunferencia irah passar por, no maximo, um dos outros 2n+1 pontos. Assim, quando a circunferencia passar por um dos pontos e contiver exatamente n pontos no seu interior, pare. Esta serah a circunferencia desejada.
[]s,
Claudio.