Re: [obm-l] conjecturas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Sep 23, 2005 at 03:36:04PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:
> --- Paulo Santa Rita <paulosantarita@hotmail.com>
> escreveu:
> > Uma CONJECTURA e uma suposicao de carater cientifico
> > que acreditamos ser 
> > verdadeira mas que nao sabemos demonstrar. A hipotese 
> > do continuo e a conjectura de Riemann sao
> > conjecturas.
> 
> Bem, até onde eu saiba, a hipótese do contínuo não é
> uma conjectura, mas um fato indecidível (ou seja, com
> a matemática que foi desenvolvida, é impossível
> demonstrar ou refutar a Hipotese do Continuo).

Dirichlet está correto, com os axiomas usuais da teoria
dos conjuntos é demonstradamente impossível demonstrar
quer a hipótese do contínuo quer a sua negação.
 
> Ah, a Hipótese do Contínuo diz algo como:
> 
> "Dizemos que dois conjuntos A e B são equicontaveis se
> existir uma bijeçao de A ate B". 
> 
> Aliás, são fatos bem conhecidos que:
>  N , Z, Q e N^k (com k finito) sao equicontaveis (algo
> meio surpreendente para algumas pessoas);
>  N e R não são equicontáveis. 
> 
> De um modo meio informal de se falar, existem mais
> reais que naturais(bem, dizemos que existem menos
> elementos em X que em Y quando existe uma função
> injetora de X ate Y, mas o contrario nao é válido),
> mas existem tantos racionais que naturais.
> 
> Enfim, a pergunta do contínuo é: "existe um conjunto I
> tal que I tenha menos elementos que R mas I tenha mais
> elementos que N?".

De forma mais concisa e rigorosa, a hipótese do contínuo diz:

 Para todo subconjunto infinito A de R ou existe uma bijeção
 entre A e N ou existe uma bijeção entre A e R.

Aqui R é o contínuo, i.e., o conjunto dos reais e
N é o conjunto dos naturais.

Outra coisa que torna a hipótese do contínuo um mau exemplo
de conjectura é que, como o Santa Rita bem disse, uma conjectura
é um enunciado que *acreditamos* ser verdadeiro. Ora, a maioria
dos especialistas em teoria dos conjuntos, a partir de Gödel e Cohen
e até hoje, parece acreditar que a hipótese do contínuo é *falsa*.
Existem várias linhas de argumentação para justificar esta crença
ou preferência mas, deixemos claro, em nenhum caso fala-se de
uma demonstração (a partir dos axiomas usuais) de que a hipótese
do contínuo é falsa.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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