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Re: RES: RES: [obm-l]
Não dá para usar homogeneidade neste caso?
Basta fazer a_1 =k*A_1 e podemos farorar o K.
O jeitão do produto muda mas parece que da para
adaptar...
--- Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
escreveu:
> Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante
> que usando calculo.
>
> Mas e tivessemos algo mais geral do tipo,
>
> minimizar (k + a_1).....(k +_a_n), k>0
>
> dado que a_1 * a_2 *.....a_n = p
>
> a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia
> complicar, embora
> talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e
> desigualdade MA >= MG. A
> solucao otima continuria sendo com a_1 = ....a_n =
> p^(1/n).
>
> Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh
> hah um ponto extremo, a
> funcao eh limitada inferiormente, ela e a as
> restricoes sao classe C^2
>
> Artur
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
> claudio.buffara
> Enviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005
> 20:03
> Para: obm-l
> Assunto: RE: RES: [obm-l]
>
>
>
> Talvez um enunciado mais claro pro problema original
> seja o seguinte:
>
> Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer
> cujo produto é 1, então:
> (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n
> e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <=
> i <= n.
>
> Agora, sabemos que se o produto de m números
> positivos for 1, então a soma
> desses números é >= m com igualdade se e somente se
> todos os números são
> iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >=
> MG).
>
> Expandindo o lado esquerdo, teremos:
> 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde:
> S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k.
> Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n,
> S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n
> ...
> S_n = a_1*a_2*...*a_n.
>
> É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo
> produto é 1, de modo
> que S_k >= Binom(n,k).
>
> Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que:
> 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) =
> 2^n.
>
> Finalmente, vale a igualdade <==>
> S_1 = Binom(n,1) = n <==>
> a_1 = ... = a_n.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300
> Assunto: RE: RES: [obm-l]
> > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com
> essa "solução" que nem
> exigi
> > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste
> assunto.
> >
> > []s,
> > Daniel
> >
> > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu.
> Soh que, na realidade,
> > o
> > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc
> parou. Os multiplicadores
> > de
> > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n =
> 1 PODE, mas nao
> > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo.
> De modo geral, para se
> > decidir
> > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de
> fato ponto extremo, eh
> > maximo
> > '>'ou minimo relativo, temos que analisar
> condicoes de segunda ordem, no
> > caso
> > '>'em que o problema, como este, tem funcao
> objetivo e restricoes com
> derivadas
> > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe
> C^2). Além disto,
> precisamos
> > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas
> local. Isto, de modo geral,
> > exige
> > '>'condicoes de convexidade ou concavidade.
> > '>'Na programacao matematica hah um terorema que
> se aplica a casos como
> > este,
> > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes
> apresentam simetria. Nao me
> > lembro
> > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra
> garantir que o ponto
> > eh
> > '>'maximo ou minimo global.
> > '>'
> > '>'Artur
> >
> >
> >
>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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