[obm-l] RES: [obm-l] Ajuda Polinômios.

["Ralph Teixeira" <RALPH@xxxxxx>]

Ou que tal assim:

> 1) Determinar todos os polinômios p(x) satisfazendo a equação:
> (x-16)p(2x)=16(x-1)p(x) para todo x.

Substituindo x=1, você vê que p(2)=0.
Substituindo x=2, você vê que p(4)=Blah*p(2)=0
Substituindo x=4, você vê que p(8)=Blah*p(4)=0
Substituindo x=8, você vê que p(16)=Blah*p(8)=0
(Note que subsituindo x=16 não dá nada de novo)

Então p tem pelo menos estas quatro raízes. Assim, podemos escrever
p(x)=(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)q(x).
Substituindo esta expressão na equação original, você acha:

(x-16)(2x-2)(2x-4)(2x-8)(2x-16)q(2x)=16(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)q(x), ou seja,
q(2x)=q(x) PARA TODO x!!

Mas esta igualdade só é satisfeita por polinômios constantes (bom, por exemplo, teríamos
q(1)=q(2)=q(4)=..., isto é, q(x)=q(1) tem infinitas raízes, portanto q tem de ser constante)! Então q(x)=k, isto é, p(x)=k(x-2)(x-4)(x-8)(x-16).

Abraço,
	Ralph

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Claudio Buffara
Enviada em: terça-feira, 11 de outubro de 2005 13:12
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Ajuda Polinômios.


on 11.10.05 00:27, Roger Lebid at roger.lbd@gmail.com wrote:

> Bem pessoal estou com dificuldade em três questões de polinômios, acho
> que está faltando criatividade...
> 
> ___
> 
>
Estou supondo que trabalhamos sobre o corpo dos complexos.

Se p(x) satisfaz, entao, para qualquer k complexo, k*p(x) tambem satisfaz.
 
Assim, podemos supor que p(x) eh monico de grau n.
Comparando os termos de maior grau em cada membro, obteremos:
2^n*x^(n+1) = 16*x^(n+1) ==> n = 4

Assim, seja p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d.

(x-16)p(2x) = (x-16)(16x^4 + 8ax^3 + 4bx^2 + 2cx + d) =
16(x^5 + (a/2-16)x^4 + (b/4-8a)x^3 + (c/8-4b)x^2 + (d/16-2c)x - d) =

16(x-1)p(x) = 16(x-1)(x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d) =
16(x^5 + (a-1)x^4 + (b-a)x^3 + (c-b)x^2 + (d-c)x - d)

Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, obtemos:
a = -30,  b = 280,  c = -960,  d = 1024
  
Logo, p(x) = k*(x^4 - 30x^3 + 280x^2 - 960x + 1024), onde k eh um complexo
qualquer.


> 2)Se p(x) denota um polinômio de grau n tal que P(k) = k/ (k+1) , para
> k = 0,1,2,...,n, calcular o valor de P(n+1)
>
Sem usar nenhuma criatividade, basta usar a formula de interpolacao de
Lagrange...

Por outro lado, a identidade (k+1)P(k) = k <==> (k+1)P(k) - k = 0 sugere que
consideremos o polinomio Q(x) = (x + 1)*P(x) - x, cujas raizes sao:
0, 1, 2, ..., n.

Ou seja, Q(x) = Ax(x-1)(x-2)...(x-n), onde A = constante a ser determinada.

Q(-1) = (-1 + 1)P(-1) - (-1) = 1 ==>
A*(-1)^(n+1)*(n+1)! = 1 ==>
A = (-1)^(n+1)/(n+1)!

Assim, Q(n+1) = A*(n+1)! = (-1)^(n+1) ==>

(n+2)P(n+1) - (n+1) = (-1)^(n+1) ==>

P(n+1) = (n + 1 + (-1)^(n+1))/(n + 2).



[]s,
Claudio.


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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