E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal
conjunto seja fechado?
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 13 Oct 2005
12:13:18 -0300 |
| Assunto: |
RES: [obm-l] Medida
Positiva e Interior Vazio |
> Na realidade,
nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto e denso em R
mas com medida arbitrariamente proxima de zero.
>
> Um conjunto
com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se quisermos
medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem medida
1.
>
> A funcao de
Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo? f(x) = 0 se
x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional,
m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um
exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos
irracionais.
>
> Considremos
agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = 0 se x = 0.
Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x -> 0) 1/2
+ x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
> Temos
que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo
aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores
-1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma
infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum
destes intervalos.
>
> Isto
ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente para que
a seja ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh ponto de crescimento de f se existir uma vizinhanca de
a na qual f seja crescente.
>
> Artur
>
] -----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005
22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva e
Interior Vazio
> Oi, pessoal:
>
> Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de
medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:
>
> Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior
vazio.
>
> Outros dois bonitinhos são:
> Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e
descontínua nos racionais.
> e
> Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal
que f'(0) > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a
origem.
>
> No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é
usado?
>
> []s,
> Claudio.
>