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RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Visualizar este conjunto nao parece muito facil. A formulacao original do
conjunto aberto gera uma colecao enumeravel de intervalos que nao sao
disjuntos 2 a 2. Na realidade, cada um dos intervalos itersecta um numero
infinito de outros intervalos, pois cada um contem uma infinidae de
racionais que sao tambem embolotados. No final, estas unioes de intervalos
vao dar os intervalos componentes, jah que o conjunto, por ser aberto, eh
representado de forma unica por uma uniao enumeravel de intervalos abertos
distintos 2 a 2.
Sejam I_n os intervalos componentes do conjunto aberto gerado pelo processo
descrito. Consideremos, para facilitar, que na parte positiva da reta real,
estes intervalos estejam ordenados na ordem crescente dos pontos extremos
inferiores. Assim, o primeiro eh (a1, b1) e o seguinte (a2, b2) com b1 <=
a2. Se tivermos b1 < a2, entao o complementar F contem [b1, a2] que contem o
aberto (b1, a2). Mas como F tem interior vazio, isto eh impossivel, de modo
que b1 = a2. Igual consideracao valem para os outros intervalos componentes,
de modo que o aberto original eh, na parte positiva da reta, da forma (a1,
a2) U (a2, a3)....U...(a_n, a_n+1) U (a_n+1, a_n+2).... Assim, me parece que
cada elemento do complementar F esta "espremido" entre 2 intervalos abertos.
Mas isso acarreta que este complementar seja enumeravel e tenha, portanto,
medida nula, contrariamente aa conclusao incontestavel de que tem medida
infinita. Este meu ultimo raciocinio tem algum furo que nao estou
conseguindo ver.
A construcao do aberto dendo e com medida positiva eh perfeita, de modo que
o complementar fechado, com interior vazio e medida infinita sem duvida
existe. Este ultimo conjunto nao pode ser formado so por pontos isolados, ou
seria enumeravel e teria medida nula. Ele tem sem duvida um subconjunto
perfeito (fechado sem pontsos isolados) com medida infinita.
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de kleinad2@globo.com
Enviada em: sexta-feira, 14 de outubro de 2005 12:10
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional
com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar
desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que
não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). Por outro lado, X é denso em R,
então qualquer intervalo aberto contendo um ponto z do complementar de X
irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura implicaria que algum r_n
+ eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o eps irracional não caímos
no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que esse ponto é diferente
de z.
[]s,
Daniel
'>'-- Mensagem Original --
'>'Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300
'>'Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
'>'From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
'>'To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
'>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'
'>'OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos
'>'isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos
abertos
'>'da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do
complementar
'>'da união dos intervalos.
'>'Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto
I_n
'>'tal que isso nunca ocorra?
'>'
'>'[]s,
'>'Claudio.
'>'
'>'De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'Para:obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'Cópia:
'>'
'>'Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300
'>'
'>'Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
'>'
'>'> basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar
eh
'>'fechado, tem interior vazio e medida infinita
'>'> Artur
'>'>
'>'>
'>'-----Mensagem original-----
'>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome
'>'de claudio.buffara
'>'Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04
'>'Para: obm-l
'>'Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
'>'
'>'
'>'> E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal
conjunto
'>'seja fechado?
'>'>
'>'> []s,
'>'> Claudio.
'>'>
'>'> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'> Cópia:
'>'
'>'> Data:Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300
'>'
'>'> Assunto:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
'>'
'>'> > Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um
conjunto
'>'aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero.
'>'> >
'>'> > Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos
irrracionais.
'>'Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0,
1],
'>'Tem medida 1.
'>'> >
'>'> > A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos
irracionais,
'>'certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for
racional,
'>'m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo
de funcao
'>'continua nos racionais e descontinua nos irracionais.
'>'> >
'>'> > Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) =
0 se
'>'x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x
->
'>'0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
'>'> > Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer
intervalo
'>'aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos
valores
'>'-1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f
tem uma
'>'infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica
em nenhum
'>'destes intervalos.
'>'> >
'>'> > Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente para que
a seja
'>'ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh ponto de crescimento de
f se
'>'existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente.
'>'> >
'>'> > Artur
'>'> >
'>'] -----Mensagem original-----
'>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome
'>'de claudio.buffara
'>'Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53
'>'Para: obm-l
'>'Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
'>'
'>'
'>'> > Oi, pessoal:
'>'> >
'>'> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de
medida
'>'nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:
'>'> >
'>'> > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior
vazio.
'>'> >
'>'> > Outros dois bonitinhos são:
'>'> > Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua
nos
'>'racionais.
'>'> > e
'>'> > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal
que f'(0)
'>'> 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem.
'>'> >
'>'> > No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é
usado?
'>'> >
'>'> > []s,
'>'> > Claudio.
'>'> >
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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