Re: [obm-l] Subconjuntos de R

[Fábio Dias Moreira <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

[17/10/2005, artur.steiner@mme.gov.br]:
> O problema a seguir talvez fosse mais desafiador se nao tivesse ainda havido
> esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos
> esta discussao, a solucao eh bem obvia:

> Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos
> reais positivos, I_n = (r_n - x_n,  r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I
> eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) convegir, entao I eh um
> subconjunto proprio de R.

> Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I
> como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel.
> Isto
> certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r >0 para todo n, sendo
> r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge.

> Artur
  

Enumere os racionais do intervalo [-3, 3] como p_1, p_2, ... e faça
r_(2^n) = p_n; enumere R \ [-3, 3] com os elementos da enumeração r
que sobraram; escolha x_n = 1/n.

Então o intervalo [-2, 2] só pode ser coberto com intervalos com
centro em [-3, 3]. Mas |I inter [-2, 2]| <= 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 <
|[-2, 2]|, logo I != R.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira

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