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A é o ângulo oposto ao lado a, B é o ângulo
oposto ao lado b, e C é o ângulo oposto ao lado c.
Sabemos que
S = (ab*senC)/2,
e pela lei dos cossenos,
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC.
Substituindo na desigualdade inicial, chegamos
em
a^2 + b^2 - ab*cosC >=
raiz(3)*ab*senC <=>
a^2 + b^2 >= ab*(raiz(3)*senC + cosC)
(I)
Agora o negócio é dar uma arrumada no (raiz(3)*senC
+ cosC)
Veja que raiz(3)*senC = 2*cos30*senC = sen(C+30) +
sen(C-30),
e que cosC = 2*sen30*cosC = sen(C+30) + sen(30-C) =
sen(C+30) - sen(C-30)
Então
raiz(3)*senC + cosC = 2sen(C+30), e substituindo
em (I), a desigualdade vira
a^2 + b^2 >= 2ab*sen(C+30). É isso que devemos
provar...
Por MA >= MG, sabemos que a^2 + b^2 >= 2ab, e
como 1>= sen(C+30), temos que
a^2 + b^2 >= 2ab >= 2ab*sen(C+30), provando o
que se pedia.
Acho que é isso.
Guilherme
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