[obm-l] x^3 + 2y^3 + 4z^3 - 6xyz = 1

Há alguns dias, apareceu na lista o problema de se provar que a equação:

x^3 + 2y^3 + 4z^3 - 6xyz = 1

tem infinitas soluções em inteiros positivos.

Alguém mencionou que uma certa fatoração seria útil, e de fato, descobri que é. Pondo t = 2^(1/3), e usando a tal fatoração, a equação fica:

(x + ty + t^2z)((x^2 - 2yz) + t(2z^2 - xy) + t^2(y^2 - xz)) = 1.

Em particular, isso significa que:

(x,y,z) é solução <==> x + ty + t^2z é um invertível do anel Z[t].

Mas, se x + ty + t^2z é um invertível, então, para todo n natural,

(x + ty + t^2z)^n é invertível.

Por inspeção, verifica-se que (1,1,1) é solução ==>

1 + t + t^2 é invertível de Z[t] ==>

(1 + t + t^2)^n = (x_n + ty_n + t^2z_n) é invertível de Z[t] =>

(x_n,y_n,z_n) é solução.

É fácil ver que a função n -> (x_n,y_n,z_n) é injetiva.

Logo, a equação admite infinitas soluções em inteiros positivos.

[]s,

Claudio.