Re:RES: [obm-l] desigualdade

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Eh, nao ha incoerencia nenhuma, pois 1/15 =0,0666... <
0,096849. Eu fiz conta errada....

Artur

--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:

> Ou então,
> 
> P = (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)
> Q = (2/3)*(4/5)*(6/7)*...*(100/101)
> 
> Claramente, P < Q  ==>
> P^2 < PQ = 1/101  ==>
> P < 1/raiz(101) < 1/raiz(100) = 1/10
> 
> Por outro lado,
> R = (1/2)*(2/3)*(4/5)*...* (98/99), de modo que:
> P > R  ==>
> P^2 > PR = (1/2)*(1/100) = 1/200 ==>
> P > 1/raiz(200) > 1/raiz(225) = 1/15 
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Tue, 8 Nov 2005 17:55:27 -0200
> 
> Assunto:RES: [obm-l] desigualdade
> 
> > De modo geral, para todo n>=1 temos P_n = 1/2 *
> 3/4  *(2n-1)/(2n) = Produto(i =1,n) (1 - 1/(2n)).
> Pela desigualdade MA >=  MG, para n>1 temos que
> (P_n)^(1/n) < (1/n) * Soma (i=1,n)  (1 - 1/(2n)) = 1
> -  (1 + 1/2 +....1/n)/(2*n) . Para n>1,vale a
> desigualdade 1 + 1/2 ....+1/n > ln(n+1), de modo que
>  (P_n)^(1/n)  < 1 - ln(n+1)/(2n). Finalmente,
> concluimos que, para n >1,  P_n <  (1 -
> ln(n+1)/(2n))^n. No caso, temos n=100, o que nos
> mostra que . (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) <
> 0,096849, uma estimativa bem mais rigorosa do que a
> apresentada. Acho que o limite inferior apresentado
> estah incorreto.
> > Quando n--> oo, vemos que  (1 - ln(n+1)/(2n))^n
> -->0, logo P_n --> 0. Na terminologia adotada em
> produtos infinitos, temos que P_n diverge para 0.
> >
> >
> > Artur
> 
> >
> >
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Danilo
> Nascimento
> Enviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005
> 20:53
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] desigualdade
> 
> 
> > Prove a desigualdade.
> > 1/15<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)<1/10
> 
> 
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