Re: [obm-l] CORDA FOCAL MÍNIMA (elipse e parábola)

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi gente,

Eu tenho outra solução, que usa a definição de cônica:
dados um ponto F, chamado foco, e uma reta d, chamada
diretriz, uma cônica é o lugar geométrico dos pontos P
tais que a razão entre as distâncias de P a F e de P a
d é uma constante e (não é ~2,7; e é chamada
excentricidade da cônica). Se essa constante é 1, a
cônica é uma parábola; se é menor que 1, é uma elipse;
se é maior que 1, é uma hipérbole.

Vou provar que em qualquer cônica, se AB é uma corda
focal, isto é, um segmento com extremidades na cônica
e que passa pelo foco F, então 1/AF + 1/BF é
constante. A partir disso, pode-se demonstrar que AB é
mínimo se, e somente se, AF = BF e, portanto, AB é
perpendicular ao eixo da cônica: de fato, pela
desigualdade entre as médias aritmética e harmônica,
AB/2 = (AF + BF)/2 >= 2/(1/AF + 1/BF) = constante, com
igualdade se, e somente se, AF = BF.

Vamos, então, à demonstração. Trace, por A, F e B,
perpendiculares à diretriz. Seja k = FQ a distância
entre F e a diretriz (que é constante), x = AP a
distância entre A e a diretriz e y = BQ a distância
entre B e a diretriz. Temos a seguinte figura (em
ASCII, quem estiver utilizando outro tipo de fonte
mude para Courier New, por favor):

                           B
               F      ___--.
      A     __-.--****     |
      .--***   |           |
      |        |           |
      *--------+-----------+
      P        Q           R

Trace por A uma paralela à diretriz, determinando em
FQ o ponto S; trace outra paralela por B à diretriz,
encontrando em BR o ponto T. Os triângulos BFT e FAS
são semelhantes, logo, sendo FS = k - x e BT = y - k,
e, pela definição de cônica, x = AP = AF/e e y = BR =
FB/e, em que e é a excentricidade da cônica,
    AF/FB = FS/BT <=> BT/FB = FS/AF
<=> (y-k)/FB = (k-x)/FA
<=> k(1/FA + 1/FB) = x/FA + y/FB = 1/e + 1/e
<=> 1/FA + 1/FB = 2/(ek)

Como e e k são constante, 1/FA + 1/FB é constante.
Logo o resultado segue.

Além disso, é legal notar que isso vale para toda
cônica e que com isso, da desigualdade que fizemos no
começo, dá para calcular o tamanho da corda focal
mínima: é 2ek.

[]'s
Shine

--- "Igor O.A." <igordiscussao@gmail.com> wrote:

> Ae Eduardo... muito obrigado!
>  a solução tah excelente.
> 
> --
> I G O R
> 
> Jesus ama você.
> 



		
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