[obm-l] O PROBLEMA DO EXAME DE SANGUE!

[Chicao Valadares <chicaovaladares@xxxxxxxxxxxx>]

resolvi reaver esse problema que JOrge postou na época
dele na UNIFOR pq eu na epoca havia posto a soluçao
num papel e depois colocado num lugar onde nao
lembrava.Qd foi a pouco tempo atrás, tive o prazer de
achar esse meu papel.Além do mais, ele havia postado
ha  algum tempo alguns problemas de probabilidade em
minha homenagem que eu nao tive tempo de resolver e
que brilhantemente foi resolvido pelos colegas da
lista...pra nao ficar de fora resolvir colocar a
resoluçao parcial desse problema aqui...

> ------- from: jorgeluis ---------
> Um grande número, N de pessoas é submetido a um
> exame de sangue. Este pode 
> ser
> efetuado de duas maneiras, (i) cada pessoa pode ser
> testada separadamente,
> neste caso, são necessários N testes; (ii) as
> amostras de sangue, de K 
> pessoas
> podem ser misturadas e analisadas em conjunto. Se o
> teste é negativo, esse
> único teste é suficiente para as K pessoas. Se o
> teste é positivo, cada uma 
> das
> K pessoas deve ser testada separadamente, e ao todo
> K + 1 testes são 
> necessários
> para as K pessoas. Suponha que a probabilidade p de
> que o teste seja 
> positivo
> seja a mesma para todas as pessoas e que estas sejam
> estocásticamente
> independentes. a) Qual é a probabilidade de que o
> teste para uma amostra
> misturada de K pessoas seja positivo? b) Qual é o
> valor esperado do número, 
> X,
> de testes necessários, sob o plano (ii)? c)
> Determine uma equação para o 
> valor
> de K que minimize o número esperado de testes sob o
> segundo plano. (Não 
> tente
> soluções numéricas) d) Mostre que esse K está
> próximo de 1/p^1/2 e, então, 
> que
> o número mínimo esperado de testes está em torno de
> 2Np^1/2 (Essa observação 
> é
> devida a M. S. Ralff)
> 
> NOTA: Este problema é baseado numa técnica
> desenvolvida durante a Segunda 
> Guerra
> Mundial, por R. Dorfman. No exército, Dorfman obteve
> economia de até 80%. O
> aparecimento deste problema despertou uma atenção
> bastante ampla e conduziu 
> a
> várias generalizações bem como a novas aplicações
> industriais e biológicas. 
> O
> principal aperfeiçoamento consiste em introduzir
> mais que dois
> estágios..............


De acordo com o problema temos duas estrategias:
I- Testar cada pessoa: No caso N testes
II - Testar grupo de pessoas....
A questão aqui é verificar  se o teste em grupo é mais
eficiente que o teste individual.
Suponha N = WK, ou seja, vamos dividir em W grupos de
K pessoas.Sendo p a prob de um pessoa testada dar
positivo entao a prob de o teste em um grupo qualquer
dar negativo é a prob de cada  pessoa do grupo dar
negativo ou seja (1-p)^K.
Portanto a prob de o teste em um grupo qualquer dar
positivo é 
1 -(1-p)^K pq basta uma pessoa do grupo ser positivo
pra que o teste do grupo seja positivo.Seja Y_i o
numero necessário de testes p/ o i-ésimo grupo ,
i=1...W.
Então sendo Y o nº de testes em todas as pessoas
seguindo a estratégia II , temos que Y = Y_1 + Y_2 +
Y_3 + Y_4 ...Y_W
O número esperado de testes sob a estratégia II é E(Y)
=E(Y_1) + E(Y_2) + E(Y_3) + E(Y_4) ...E(Y_W) = E(Y_W)
pois todos os testes em grupos saõ independentes entre
si e o número esperado é o mesmo.
Mas E(Y_W) = (K+1)[1 - (1-p)^K] + 1*(1-p)^K
(O K+1 é o nº de testes necessários p/ o caso
positivo, sendo o primeiro teste positivo p/ o grupo,
ele vai testar cada um individualmente de acordo com a
forma que o problema sugere.)
=> E(Y_W) = K[1 - (1-p)^K + 1/K ] => E(Y) = WK[1 -
(1-p)^K + 1/K ] = N[1 - (1-p)^K + 1/K ]
Observe que se K = 1 E(Y) > N o que é uma inverdade
portanto K > 1.
Agora vem o pulo do gato.Para que a estrategia II seja
melhor que a um temos que E(Y) < N => N[1 - (1-p)^K +
1/K ] < N =>
[1 - (1-p)^K + 1/K ] < 1 => 1/k < (1-p)^K.
Observe que se (1-p) < 1/2 => 1/K < 1/(2^K) => K > 2^K
, absurdo pois K é inteiro positivo. Sendo assim
obtemos um resultado iinteressante.Se p for maior que
1/2 entao nunca deveremos realizar a estrategia II.

Juro que tentei fazer a letra c e d, mas deixo pra
especialistas em teoria dos numeros como Claudio
Buffara e Nicolau p/ tentarem achar K que minimiza
E(Y), pois K é um fator diferente de 1 de um número
inteiro positivo talvez exista alguma maneira de
relacionar a fatoraçao de N....

 

"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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