Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Agora ficou bem claro pra mim... Valeu

[]s,
Daniel

 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Tue, 29 Nov 2005 10:26:20 -0200
 '>'From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
 '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'Subject: Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'On Mon, Nov 28, 2005 at 09:57:53PM -0200, kleinad2@globo.com wrote:
 '>'> Quando é que paramos o jogo? Quando eu souber que ganhei ou que perdi.
 '>'Isso
 '>'> acontece (R = rodadas, C = cara , K = coroa) em
 '>'> 
 '>'> 5 R se saírem 5 C;
 '>'> 6 R se saírem 5 C e 1 K ou então 6 K;
 '>'> 7 R se saírem 5 C e 2 K ou então 6 K e 1 C;
 '>'> etc...
 '>'> 
 '>'> Para contar os evento, bastaria lembrar que a última moeda sempre
corresponde
 '>'> ao desfecho do jogo, ou seja, se o jogo acabar na rodada X e eu perder
 '>'então
 '>'> é porque deu cara, do contrário eu venci e deu coroa.
 '>'> 
 '>'> Então eu teria que (para (P,X) = # eventos em q perco na rodada X,
(V,Y)
 '>'> = # eventos em q venço na rodada Y):
 '>'> 
 '>'> (P,X) = Bin(X-1, 4) e (V,Y) = Bin(Y-1,5).
 '>'> 
 '>'> Assim eu perco em P = Bin(10,5) eventos e venço em V = Bin(10,6) eventos,
 '>'> e o total é T = Bin(11,6). Assim a probabilidade de vencer é Prob
= 210/462
 '>'> = 0,454545...
 '>'> 
 '>'> Não to conseguindo enxergar o erro deste raciocínio!
 '>'
 '>'O erro está em supor que seqüências de comprimentos diferentes
 '>'são equiprováveis.
 '>'
 '>'Espero não parecer grosseiro, mas acho que a discussão está um pouco
 '>'repetitiva. Minha sugestão para aqueles que não acreditam na solução
 '>'do gabarito (que, pelo que eu entendo, é igual à minha) é que tentem
 '>'um exemplo menor. Vamos jogar uma moeda até 4 vezes; você ganha se
 '>'saírem menos de duas caras e perdem se saírem pelo menos duas.
 '>'Qual a probabilidade de você ganhar?
 '>'
 '>'Solução I (certa)
 '>'
 '>'Vamos *sempre* jogar a moeda 4 vezes: existem assim 16 seqs equiprováveis:
 '>'
 '>'CCCC (derrota)
 '>'CCCK (derrota)
 '>'CCKC (derrota)
 '>'CCKK (derrota)
 '>'CKCC (derrota)
 '>'CKCK (derrota)
 '>'CKKC (derrota)
 '>'CKKK (vitória)
 '>'KCCC (derrota)
 '>'KCCK (derrota)
 '>'KCKC (derrota)
 '>'KCKK (vitória)
 '>'KKCC (derrota)
 '>'KKCK (vitória)
 '>'KKKC (vitória)
 '>'KKKK (vitória)
 '>'
 '>'Prob. de vencer = 5/16 = .3125
 '>'
 '>'Solução II (errada)
 '>'
 '>'Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro.
 '>'As possibilidades são:
 '>'
 '>'CC   (derrota)
 '>'CKC  (derrota)
 '>'CKKC (derrota)
 '>'CKKK (vitória)
 '>'KCC  (derrota)
 '>'KCKC (derrota)
 '>'KCKK (vitória)
 '>'KKCC (derrota)
 '>'KKCK (vitória)
 '>'KKK  (vitória)
 '>'
 '>'Como as 10 possibilidades são equiprováveis (O ERRO ESTÁ AQUI!), temos:
 '>'Prob. de vencer = 4/10 = .4
 '>'
 '>'Solução III (versão corrigida da Solução II)
 '>'
 '>'Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro.
 '>'Teremos 10 seqs, cada uma delas com prob 2^(-n) onde n é o comprimento
da
 '>'seq.
 '>'Mais explicitamente:
 '>'
 '>'CC   (derrota) Prob = 1/4
 '>'CKC  (derrota) Prob = 1/8
 '>'CKKC (derrota) Prob = 1/16
 '>'CKKK (vitória) Prob = 1/16
 '>'KCC  (derrota) Prob = 1/8
 '>'KCKC (derrota) Prob = 1/16
 '>'KCKK (vitória) Prob = 1/16
 '>'KKCC (derrota) Prob = 1/16
 '>'KKCK (vitória) Prob = 1/16
 '>'KKK  (vitória) Prob = 1/8
 '>'
 '>'Somando os casos vitoriosos, temos
 '>'Prob. de vencer = 5/16 = .3125
 '>'
 '>'Agora se você continua não acreditando eu sugiro que você pegue uma
 '>'moeda e faça a experiência. Ou melhor ainda, escreva um programinha
 '>'de computador para fazer as experiências para você.
 '>'
 '>'Se nem isto bastar, considere um exemplo mais extremo. Vamos jogar
 '>'a moeda até 7 vezes. Se cair pelo menos *uma* cara você perde.
 '>'Qual a sua probabilidade de ganhar?
 '>'
 '>'Pelo raciocínio das soluções I e III dá 1/128.
 '>'Pelo raciocínio da solução II dá 1/8
 '>'(C, KC, KKC, KKKC, KKKKC, KKKKKC, KKKKKKC perdem; KKKKKKK ganha).
 '>'A diferença é tão grande que deve ser fácil testar com uma moeda
 '>'(se você achar necessário).
 '>'
 '>'[]s, N.
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 '>'Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 '>'http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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