Re: [obm-l] TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA

[gugu@xxxxxxx]

Vamos lá:

Citando fabbez@zipmail.com.br:

>
> Mostrar que:
>
>
> a) SE r é raiz da equação 10^r=2 entao r é irracional.

Se r fosse racional, digamos r=p/q com p e q inteiros positivos (note que r é
positivo), teríamos 10^(p/q)=2, donde 10^p=2^q, absurdo, pois 10^p é múltiplo
de 5, mas 2^q não é.

>
> b) Se n pertence aos naturais é livre de quadrado, isto é, não existe numero
> primo p tal que p^2 divide n, então a raiz de n é irracional.

Isto é falso se n=1, que é livre de quadrados e tem raiz inteira. Se n>1 é
verdade, e segue do item c) abaixo: se a raiz de n fosse racional, seria
inteira; se k é a raiz de n, n=k^2, e, como n>, temos k>1, donde existe p primo
que divide k, e logo p^2 divide k^2=n, e logo n não é livre de quadrados.

>
> c)Se raiz de n é racional, então raiz de n é inteiro.

Imagino que aqui n denote um número natural. Se raiz de n=p/q onde p e q são
inteiros positivos tais que mdc(p,q)=1, temos n=p^2/q^2. De mdc(p,q)=1 segue
que mdc(p^2,q^2)=1 (de fato, os fatores primos de p^2 são os mesmos fatores
primos de p, e os fatores primos de q^2 são os mesmos de q). Assim, como
p^2/q^2=n é inteiro, temos necessariamente q=1 (pois p^2=q^2.n, donde q^2
divide p^2, e logo q^2 divide 1, pois q^2 é primo com p^2). Assim, n=p^2, e a
raiz de n é igual a p, que é inteiro.

   Abraços,
             Gugu


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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