Re: [obm-l] Calculo I

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Seja f(x) = 2^x - x^2. Temos que f(4) = 2^4 - 4^2 = 0.
f(x) = e^(xln2) - x^2 ==> f'(x) = ln2 * e^(xln2) - 2x = ln2 * 2^x - 2x
Veja que f'(4) = ln2 * 2^4 - 2*4 = ln2 * 16 - 8. Como ln2 > 0.69,
f'(4) > 0. Vamos provar agora que f'(x) é sempre positiva para
frente de 4, assim sendo f será estritamente crescente em x>4, e não
cruzará mais o eixo, que é o que vc quer provar.
f''(x) = ln2 * ln2 * 2^x - 2 ==> f''(4) = ln2 * ln2 * 16 - 2 ~= 0.47 * 16 - 2 > 0
Basta provar que f'' é sempre positiva, então f' será crescente
estrita. Como era positiva em 4, será sempre positiva, o que implica f
sempre crescente.
f'''(x) = ln2 * ln2 * ln2 * 2^x >0, para todo x real. Logo f'' é
crescente estrita. Como em 4 ela é positiva, ela será sempre positiva
em x >= 4. Dessa forma, f' será crescente estrita a partir de 4, e
assim f será crescente estrita em x>=4. Como f era nula em 4, para
qualquer valor x > 4, f(x) > f(4) = 0, logo não há raizes para
frente de 4. Então f(x) != 0 <==> 2^x - x^2 != 0 <==> x^2
!= 2^x, para todo x > 4.

Abraço,
Bruno

On 5/31/06, Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> wrote:

Quantas solucoes possui x^2=2^x.

Bom, eu fiz o gráfico e realmente constatei q existem 3 solucoes. Mas como q eu garanto por exemplo q  para x>4 elas nao se cruzam em nenhum ponto.

Grato.

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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0