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Re: [obm-l] Como se resolve limite?



Ahh, desculpe, agora que vi na sua mensagem que vc já diz.


Olha, a idéia de limite é a seguinte:
Dizer que uma função tem um limite L num ponto a é, POR DEFINIÇÃO (de forma não rigorosa) dizer que quando vc vai tomando valores de x bem próximos ao valor a, o valor da função nesse ponto é bem próximo de L, e cada vez que vc vai chegando o x mais perto do valor a, o valor da função vai chegando cada vez mais perto de L. Dá pra entender a idéia intuitiva?

Exemplo: tome a função f(x) = x^2, e vamos "provar" (nao será rigoroso, será apenas uma verificação para vc entender o conceito) que o limite de f(x), quando x tende a 3, vale 9.
Tome x "pertinho de 3" e calcule o valor da função: f(2) = 4. Agora vá aproximando. f( 2.5) = 6.25. f(2.9) = 8.41, f(2.999) = 8.994001, f(2.99999) = 8.9999400001, e assim por diante.
Vemos que conforme vamos aproximando o x do 3, o valor de f calculado nesse x vai ficando cada vez mais próximo de 9. Isso aí não prova nada. Isso apenas sugere que o limite de f(x), quando x tende a 3, é igual a 9.

A definição formal de limite diz que vc pode tornar o valor da função calculado num ponto x TÃO PROXIMO QUANTO VC QUEIRA do valor L, bastando para isso tomar um x suficientemente próximo do valor no qual vc quer saber o limite.

No nosso caso, f(x) = x^2 , e eu quero limite para x tendendo a 3. Vamos agora PROVAR que o limite é 9.
Provar isso significa mostrar que eu posso chegar TÃO PROXIMO QUANTO EU QUEIRA do 9, bastando para isso tomar um x suficientemente próximo de 3. Seria algo assim:
Quero chegar a uma distância de no máximo 1 do 9. Então a gente precisa mostrar que eu posso tomar um valor x para o qual f(x) fica entre 8 e 10. Fácil: x^2 = 8 <==> x = sqrt(8) e x^2 = 10 <==> x = sqrt(10). Tomando x no intervalo ] sqrt(8), sqrt(10) [ a distância de f(x) ao valor 9 é certamente menor do que 1. Note que o número 3 está dentro desse intervalo.
Agora, quero chegar a uma distância de no máximo 0.01 do 9. x^2 = 8.99 <==> x = sqrt(8.99), e x^2 = 9.01 <==> x = sqrt(9.01). Basta tomar x entre sqrt(8.99) e sqrt(9.01). Note denovo que o 3 está dentro desse intervalo.

Mostrar que o limite de f(x) = x^2, para x tendendo a 3, vale 9, é mostrar que para qualquer distância máxima que eu escolha do 9, tem algum intervalo que CONTEM O 3, tal que os valores da função calculados nesse intervalor (ou "a imagem do intervalo") fiquem àquela distância do 9.

Formalmente, temos:

lim (x -> a)  f(x)      =     L
Para todo epsilon (aquele "e" é uma letra grega chamada epsilon) epsilon > 0, existe um delta (aquele símbolo é o delta minúsculo em grego) delta > 0, tal que |x - a| < delta ==> |f(x) - L| < epsilon.
(note que não é f(x) = L, mas é como se fosse ( lim (x->a) f(x) ) = L, é o limite que é L, e não f(x), como acho que vc falou em sua mensagem).

O epsilon é a distância máxima ao 9 que eu quero chegar, e o delta é o tamanho de um intervalinho no qual o x pode percorrer para que os valores do f(x) fiquem no máximo à distância epsilon do 9. (Lembre que |a - b|  representa a distância entre os números a e b).
Essa definição é a tradução direta para a linguagem matemática daquilo que falamos acima.


Acontece que isso aí não ajuda para descobrir quanto vale um limite, só serve, em geral, para provar o valor de um limite, depois que vc já sabe quanto dá.

Para achar o valor, vc usa esses 14 teoremas que vc disse, que eles servem para o cálculo.


Serviu pra algo isso tudo?
Abraço
Bruno


On 9/13/06, Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> wrote:
Olá.

Vc estuda o que? Faz faculdade e está tendo cálculo neste semestre? Ou está em escola/colégio/cursinho e está tentando aprender limites?

Abraço
Bruno


On 9/12/06, Washington <washingtonn2004@yahoo.com.br> wrote:
Estou com dificuldade em entender limites. Poderiam me dar um conceito mais realista? Tenho um livro de cálculo e não me ajudou. Pesquisei na internet e as apostilas trazem aquela mesma teoria que os mortais não entendem.

Conceito de limite(retirado de um site em inglês):
"Um função f(z) tem um limite lim(z->a) f (z)=c se para todo e>0 que existe um o(um símbolo parecido com "o" que não dá pra digitar aqui) >0 de tal forma que | f (z) - c| < e quando 0 < | z-a | < o(novamente um símbolo parecido com "o" que não dá pra digitar aqui) e . Essa definição é chamada às vezes de "definição delta ipsilon"."

Eu sei o que é uma função. São por exemplo,dois diagramas(conjuntos) A e B,com números que se associam. Fazer pontos num plano cartesiano eu sei. Até aí está claríssimo. Agora,entender o que é uma função f(z),é outra história. O que significa? Z é um número qualquer? Caso seja,o que significa lim(z-> a)? E f (z)=c para todo e>0?? Não sei o que é f(z)=c nem e>0. Quem é "e"?

Com tantas indagações,podem pensar que não estudo,que quero moleza ou qualquer outro pensamento similar. Não. Eu estudo,curso ciência da computação,tenho livros de cálculo I à disposição,mas como eu disse,não me ajudaram em nada. Por que? É só pensar bem: se eu não entendo nem os conceitos,vou entender o resto?
Meu professor é meio soberbo e não se preocupa com os alunos. Como posso aprender essas coisas?
Usando minhas palavras,a explicação que ele deu foi que o cálculo de limite é um cálculo pra achar um número próximo,mas nunca igual a outro. Disse também que a igualdade é algo muito exigente(claro) e que o limite é mais maleável,pois cada vez mais pode-se aproximar um número de zero(um número tende a outro,mas nunca é igual). Com essas informações,as pessoas achariam que sou uma pessoa preparada pra resolver questões de limite. Não sou. Diante de uma questão como
Calcule o limite:
lim(x->3) x³-27/x-3 não sei como começar. A cada limite dado,de acordo com o que vi ele fazer na lousa alguns exemplos,usa outro tipo de fórmula(ou teorema) um diferente da outra. (Ele vem ensinando isso desde o início de agosto,quando as aulas começaram e até agora,ainda não sei resolver limites e está começando a passar derivadas. Não estou com disposição pra ser reprovado e começo a me estressar).
No livro de cálculo tem mais de 14 teoremas,sendo que,como eu já disse,essas teorias me deixam mais confuso do que qualquer outra coisa.
Vou explicitar algumas contidas no livro:
Teorema de limite 1:
se m e b são constantes quaisquer,
lim(x->a) (mx+b)=ma+b

m e b,entendo como sendo números. Certo,mas em que isso me ajuda a entender?
Constantes. Que constantes? Números que são sempre os mesmos,nunca mudam?

Teorema de limite 2:
Se C é uma constante,então para qualquer número a,
lim(x->a) C=C
(fiquei na mesma,ajudou nada)

Teorema de limite 3:

lim(x->a) x=a
(idem(não ajuda) )

Supondo que só existissem esses três teoremas,como eu saberia qual deles usar pra resolver esse limite?
lim(x->3) x³ -27/x-3

Existem outras situações que meu prof. diz que deve-se resolver fatorando,mas fatorando o quê? Em outros,ele diz pra resolver procurando a maior potência.
Em suma,não tenho problemas mentais. Apenas sou um a mais que não entende de limite,mas que quer aprender,sendo que,com o que é ensinado,é insuficiente. Estou ciente que a matemática se baseia em muitas teorias,mas por que não simplificar,de modo que pessoas leigas entendam pelo menos o caminho a seguir?

Finalizando,eu tive que expôr toda minha situação pra que possam ter idéia do problema.

Muito obrigado desde já e agradeço também a paciência na leitura.

Washington

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