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Re: [obm-l] Inducao
Ola Klaus Ferraz e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
3 ) Para N = 1 a desigualdade e valida, pois :
2 >= sqrt(3) => (1/2) =< (1/sqrt(3))
Suponhamos entao que a desigualdade seja valida para N = P, isto e :
[1*3*... *(2P - 1) ] / [2*4*... *(2P) ] =< 1/sqrt(2P+1) .
Agora, eu afirmo que [(2P+1)/(2P+2)] =< sqrt( (2P+1)/(2P+ 3) ). Para ver
isso claramente, faca M = 2P+1. Entao : M^2 +2M < (M + 1)^2. =>
M(M+2) < (M+1)^2 => M/[(M+1)^2] < 1/(M+2) => (M^2) / [(M+1)^2] < M/(M+2) =>
[M/(M+1)]^2 < M/(M+2) => M / (M+1) < sqrt(M / (M+2) ) =>
A = [(2P+1) / (2P+2)] =< sqrt( (2P+1) / (2P+ 3) ) = B
Como Queriamos Demonstrar.
Da suposicao que fizemos e desta ultima desigualdade decorre :
[1*3*... *(2P - 1) ] / [2*4*... *(2P) ] * A =< [1/sqrt(2P+1) ] * B
[1*3*... *(2P - 1)*(2P + 1) ] / [2*4*... *(2P)*(2P+2) ] =< 1/sqrt(2P+3)
Assim, supomos que a desigualdade valia para N=P e provamos que isto
implica necessariamente a sua validade para N=P+1. Como ja haviamos
confirmado que ela vale para N=1, segue que vale para todo N natural, que
e precisamente o que queriamos demonstrar.
OBS1 : O passo crucial foi a desigualdade adicional que provamos. Nos
partimos de M^2 + 2M =< M^2 + 2M + 1. E claro que poderiamos ter
partido - por exemplo - de M^2 + 2M =< M^2 + 2M + (1/M). Significa isso
que o limitante 1/sqrt(2N+1) e grosseiro, podendo ser melhorado e muito.
OBS2 : Inducao finita e um METODO DE PROVA. Nao e um METODO DE
DESCOBERTA. Assim, o mais interessante, que e a arte de se inspirar e
penetrar no desconhecido e uma etapa que deve ser cumprida ANTES da
prova por inducao.
OBS3 : Quem descobriu as provas de inducao de P para P+1 foi o Pascal, na
mesma epoca em que Fermat descobriu o metodo de P para P-1, ou seja,
uma "descida". Nesta tecnica, Fermat supoe que uma propriedade suposta
valida para N=P implica ser valida para N=P-1. A seguir, ele exibe um exemplar
que contradiz a suposicao, donde decorre a falsidade desta suposicao. Logo,
o contrario do suposto e que e verdadeiro e e o que ele desejava demonstrar.
Voce saberia provar a desigualdade que estamos considerando usando o metodo
da descida de Fermat ?
Um Abraco a todos !
Paulo Santa Rita
4,2019,170107
> At 18:27 16/1/2007, Klaus Ferraz wrote:
>1)Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de 2 com
>expoentes distintos
>2)Prove que um quadrado pode ser dividido em n quadrados para n>=6.
>3)Prove que [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n]=<1/sqrt(2n+1)
>
>Grato.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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