[obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Ah, esse é um grande clássico!

Estamos somando termos da forma 1/(cos k.cos(k+1)), com medidas em graus.

Antes de continuar, vale a pena mostrar um exemplo de soma telescópica parecida, mas mais simples, que é a soma
   1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(88.89)
de termos do tipo 1/(k.(k+1)). A idéia é escrever essa fração como soma de frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que
   1/(k.(k+1)) = A/k + B/(k+1)

Abrindo tudo e fazendo identidade de polinômios, encontramos A = 1 e B = -1, de modo que a soma é igual a
   (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/88 - 1/89) = 1 - 1/89 = 88/89

Tendo essa idéia em vista, vamos encontrar uma função f(n) de Z em R tal que
   1/(cos k.cos(k+1)) = f(k)/cos k - f(k+1)/cos(k+1)

Tirando o mínimo e eliminando denominadores, encontramos
   1 = f(k)cos(k+1) - f(k+1)cos k

Parece alguma fórmula familiar? Compare com
   sen(a - b) = sen a cos b - sen b cos a
(forçando um pouco mais a barra: faça a = k+1 e b = k)

Então parece valer a pena tomar f(n) = C.sen n. Fazendo umas contas não é difícil ver que C = -1/sen 1. Assim
   1/(cos k.cos(k+1)) = 1/sen1(sen k/cos k - sen(k+1)/cos(k+1))
e a soma pedida é
   1/(cos0.cos1) + 1/(cos1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89)
 = -1/sen1((sen0/cos0 - sen1/cos1) + (sen1/cos1 - sen2/cos2) + ... + (sen88/cos88 - sen89/cos89))
 = -1/sen1(sen0/cos0 - sen89/cos89)
 = -1/sen1(0 - cos1/sen1)
 = cos1/sen^2(1).

[]'s
Shine


----- Original Message ----
From: Rogério Possi Júnior <ropossijr@hotmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, February 28, 2007 8:11:51 PM
Subject: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.


Caros,

Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica?

(USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... + 
1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1).

Rogério

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