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[obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
Parece
que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes
simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara
a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da
"escada" que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh
monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a
simetrica).
Mas a
solucao do Paulo eh mesmo linda!
Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que,
se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e
somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge.
So
lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de
funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas
para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n|
<= M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para
alguma funcao f.
O
Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 <= a_n <= b_n para todo n e
Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n
diverge.
Abracos
artur
Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da
série harmônica.
Obrigado.
Paulo Santa Rita
<paulo.santarita@gmail.com> escreveu:
Ola
Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O carissimo Artur
ja resolveu a questao usando o teste da integral.
Mas nao ha problema em
conhecer uma outra maneira de resolver a mesma
questao. Aqui vai uma
forma mais elementar :
Como 3*log(3) < 4*log(4) e 4*log(4) =<
4*log(4), podemos inverter as 2
desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto
dara :
1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > 1/(4*log(4)) +
1/(4*log(4))
1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 +
1/4)
1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/2)
Como
5*log(5) < 8*log(8) , 6*log(6) < 8*log(8) , 7*log(7) < 8*log(8)
e
8*log(8) =< 8*log(8),
podemos inverter as 4 desigualdades e, a
seguir, soma-las. Isto dara :
1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) +
1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) > (
1/(2*log(2)) )*(1/3)
Partindo
agora de 9*log(9) < 16*log(16), 10*log(10) < 16*log(16) ...
ate
finalizar em 16*log(16) =< 16*log(16), invertendo cada uma das
8
desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a
:
1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) > (
1/(2*log(2)) )*(1/4
Somando tudo, e facil ver que
:
1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... >
(
1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... )
Como a serie da direita
consabidamente diverge, pelo criterio de
comparacao ( se nao me falha a
memoria e o "Teste M de Weiertrass" )
segue que a serie da esquerda
tambem diverge.
Generalizano esta tecnica e prove o caso
(N*log(N))^r
E com os melhores votos
de paz profunda, sou
Paulo
Santa Rita
3,150B,100407
Em 07/04/07, Claudio
Gustavo escreveu:
> Oi. Sou Claudio Gustavo
e esta é a primeira vez que escrevo para esta
> lista. Gostaria de
alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até
> infinito de
1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1,
>
converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas?
Pois
> a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que
1.
>
Obrigado.
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Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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